Упр.79 Часть 3 ГДЗ Дорофеев Петерсон 6 класс (Математика)

1. Переведи высказывания с математического языка на русский и определи их истинность. Для ложных высказываний построй отрицания: а) $$\forall a\in\mathbb{Q}: a\cdot\frac{1}{a}=1$$; б) $$\forall a,b\in\mathbb{Q}: ab\ne 0$$; в) $$\exists a\in\mathbb{Q}: -a>a$$; г) $$\exists a\in\mathbb{Q}: -a^2>(-a)^2$$.

а) $$\forall a \in \mathbb{Q}: a \cdot \frac{1}{a} = 1.$$

Любое рациональное число, отличное от нуля, при умножении на обратное ему число даёт 1. Это высказывание истинно.

б) $$\forall a,b \in \mathbb{Q}: ab \ne 0.$$

Произведение любых двух рациональных чисел не равно нулю. Это ложно, например, при $$a=0$$ и $$b=3$$ получаем:

$$0 \cdot 3 = 0.$$

Отрицание: $$\exists a,b \in \mathbb{Q}: ab = 0.$$

в) $$\exists a \in \mathbb{Q}: -a > a.$$

Существует рациональное число, для которого противоположное число больше самого числа. Это истинно, например, при $$a=-7$$:

$$-(-7) > -7 \iff 7 > -7.$$

г) $$\exists a \in \mathbb{Q}: -a^2 > (-a)^2.$$

Существует рациональное число, для которого $$-a^2$$ больше, чем $$(-a)^2$$. Это ложно, так как

$$(-a)^2 = a^2,$$

а значит

$$-a^2 \le a^2.$$

Например, при $$a=3$$ получаем:

$$-3^2 = -9,\quad (-3)^2 = 9,\quad -9 > 9$$

— неверно.

Отрицание: $$\forall a \in \mathbb{Q}: -a^2 \le (-a)^2.$$

Ответ

а) истинно; б) ложно, отрицание: $$\exists a,b \in \mathbb{Q}: ab = 0$$; в) истинно; г) ложно, отрицание: $$\forall a \in \mathbb{Q}: -a^2 \le (-a)^2$$.