Упр.749 Часть 3 ГДЗ Дорофеев Петерсон 6 класс (Математика)
- Прочитай высказывания, докажи или опровергни их. Построй отрицания ложных высказываний.
а) $$\forall x\in\mathbb{Q}: x+(-x)=0$$;
б) $$\exists y\in\mathbb{Q}: y\cdot\frac{1}{y}\ne1$$;
в) $$\forall a\in\mathbb{Q}: -a<0$$;
г) $$\exists b\in\mathbb{Q}: \frac{1}{b}=-b$$;
д) $$\forall m\in\mathbb{Q}: -(-m)=m$$;
е) $$\forall n\in\mathbb{Q}: 1\mathbin{:}\frac{1}{n}=n$$.
а) Для любого рационального числа $$x$$ сумма числа и противоположного ему равна нулю:
$$x+(-x)=0.$$
Это верное высказывание.
б) Высказывание $$\exists y \in Q:\ y \cdot \frac{1}{y} \ne 1$$ ложно, так как для любого ненулевого рационального числа $$y$$ выполняется:
$$y \cdot \frac{1}{y}=1.$$
Отрицание:
$$\forall y \in Q:\ y \cdot \frac{1}{y}=1.$$
в) Высказывание $$\forall a \in Q:\ -a<0$$ ложно, потому что при положительном $$a$$ число $$-a$$ отрицательно, а при отрицательном $$a$$ число $$-a$$ положительно. Значит, не для всех рациональных чисел это верно.
Отрицание:
$$\exists a \in Q:\ -a \ge 0.$$
г) Высказывание $$\exists b \in Q:\ \frac{1}{b}=-b$$ ложно, так как для любого ненулевого рационального числа $$b$$ равенство $$\frac{1}{b}=-b$$ не выполняется.
Отрицание:
$$\forall b \in Q:\ \frac{1}{b}\ne -b.$$
д) Для любого рационального числа $$m$$ выполняется:
$$-(-m)=m.$$
Это верное высказывание.
е) Для любого ненулевого рационального числа $$n$$ верно:
$$1:\frac{1}{n}=n.$$
Действительно, деление на дробь равно умножению на обратное число:
$$1:\frac{1}{n}=1\cdot n=n.$$
Это верное высказывание.
Ответ
а) истинно; б) ложно, отрицание: $$\forall y \in Q:\ y \cdot \frac{1}{y}=1$$; в) ложно, отрицание: $$\exists a \in Q:\ -a \ge 0$$; г) ложно, отрицание: $$\forall b \in Q:\ \frac{1}{b}\ne -b$$; д) истинно; е) истинно.
