Упр.70 Часть 1 ГДЗ Дорофеев Петерсон 6 класс (Математика)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Дорофеев, Петерсон 6 класс, Просвещение: 70. Сократима ли дробь, которая в сумме с данной правильной несократимой дробью дает 1? Рассмотри несколько примеров и докажи подмеченную закономерность.

Подробный ответ

Пусть дана правильная несократимая дробь $$\frac{a}{b}$$. Тогда дробь, которая в сумме с ней дает 1, равна

$$1-\frac{a}{b}=\frac{b-a}{b}.$$

Проверим на нескольких примерах:

$$1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$$
$$1-\frac{3}{5}=\frac{2}{5}$$
$$1-\frac{7}{9}=\frac{2}{9}$$
$$1-\frac{9}{13}=\frac{4}{13}$$
$$1-\frac{11}{23}=\frac{12}{23}$$

Во всех случаях полученная дробь тоже несократима.

Докажем это. Так как дробь $$\frac{a}{b}$$ несократима, то числа $$a$$ и $$b$$ взаимно просты, то есть $$\gcd(a,b)=1$$. Нужно показать, что дробь $$\frac{b-a}{b}$$ тоже несократима.

Предположим, что у числителя и знаменателя есть общий делитель $$d>1$$. Тогда $$d$$ делит и $$b$$, и $$b-a$$. Значит, $$d$$ делит их разность:

$$b-(b-a)=a.$$

Получается, что $$d$$ делит и $$a$$, и $$b$$, что невозможно, так как $$\frac{a}{b}$$ несократима. Следовательно, общих делителей у $$b-a$$ и $$b$$ нет, значит, дробь $$\frac{b-a}{b}$$ несократима.

Итак, если одна из двух дробей, сумма которых равна 1, правильная несократимая, то и вторая дробь тоже правильная несократимая.