Упр.692 Часть 3 ГДЗ Дорофеев Петерсон 6 класс (Математика)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Дорофеев, Петерсон 6 класс, Просвещение: 692. Можно ли составить паркет: а) из правильных треугольников и квадратов; б) из правильных пятиугольников; в) из правильных треугольников и шестиугольников; г) из правильных восьмиугольников? Если возможно, то покажи, как многоугольники «сходятся» в общей вершине. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 6 peterson6 part3/692 066

У правильного n-угольника внутренний угол равен $$\alpha_n=\frac{(n-2)\cdot 180^\circ}{n}.$$

а) Для правильного треугольника $$\alpha_3=60^\circ,$$ для квадрата $$\alpha_4=90^\circ.$$

Проверим, можно ли составить полный угол вокруг одной вершины:

$$3\cdot 60^\circ+2\cdot 90^\circ=180^\circ+180^\circ=360^\circ.$$

Значит, паркет составить можно. В общей вершине сходятся 3 треугольника и 2 квадрата.

б) Для правильного пятиугольника $$\alpha_5=108^\circ.$$

Нужно, чтобы несколько таких углов давали $$360^\circ,$$ но $$360^\circ$$ не делится на $$108^\circ$$ без остатка:

$$360^\circ:108^\circ=3{,}3\ldots$$

Значит, паркет из правильных пятиугольников составить нельзя.

в) Для правильного треугольника $$\alpha_3=60^\circ,$$ для правильного шестиугольника $$\alpha_6=120^\circ.$$

Проверим сумму углов вокруг вершины:

$$2\cdot 60^\circ+2\cdot 120^\circ=120^\circ+240^\circ=360^\circ.$$

Можно также взять:

$$4\cdot 60^\circ+120^\circ=360^\circ.$$

Значит, паркет из правильных треугольников и шестиугольников составить можно. В общей вершине могут сходиться, например, 2 треугольника и 2 шестиугольника.

г) Для правильного восьмиугольника $$\alpha_8=135^\circ.$$

Проверим кратность:

$$360^\circ:135^\circ=2{,}6\ldots$$

Число $$360^\circ$$ не делится на $$135^\circ$$ целое число раз, значит, паркет из правильных восьмиугольников составить нельзя.

Ответ

а) Можно; в вершине сходятся 3 треугольника и 2 квадрата.
б) Нельзя.
в) Можно; в вершине могут сходиться 2 треугольника и 2 шестиугольника.
г) Нельзя.