Упр.674 Часть 3 ГДЗ Дорофеев Петерсон 6 класс (Математика)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Дорофеев, Петерсон 6 класс, Просвещение: 674. Начерти треугольник AВС со сторонами AB=4 см, ВС=2 см, АС=5 см. Построй треугольник А_1B_1С_1, центрально-симметричный треугольнику АВС относительно вершины В. Является ли точка В центром симметрии четырёхугольника АСА_1С_1? Как это доказать? *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 6 peterson6 part3/674 066

Построим треугольник $$ABC$$ со сторонами $$AB=4$$ см, $$BC=2$$ см, $$AC=5$$ см.

Чтобы построить треугольник $$A_1B_1C_1$$, центрально-симметричный треугольнику $$ABC$$ относительно вершины $$B$$, отметим точки $$A_1$$ и $$C_1$$ так, чтобы $$B$$ была серединой отрезков $$AA_1$$ и $$CC_1$$. Тогда точка $$B$$ перейдёт сама в себя, то есть $$B_1=B$$.

При центральной симметрии отрезок переходит в равный ему параллельный отрезок, значит

$$AC \parallel A_1C_1,$$
$$AC = A_1C_1.$$

Кроме того, по построению

$$AA_1 \parallel CC_1,$$
$$AA_1 = CC_1.$$

Следовательно, четырёхугольник $$ACA_1C_1$$ — параллелограмм. Диагонали параллелограмма пересекаются и делятся пополам, значит точка их пересечения является центром симметрии. Этой точкой является $$B$$.

Ответ

Да, точка $$B$$ является центром симметрии четырёхугольника $$ACA_1C_1$$, так как этот четырёхугольник — параллелограмм, а точка $$B$$ является точкой пересечения его диагоналей.