Упр.674 Часть 3 ГДЗ Дорофеев Петерсон 6 класс (Математика)

1. Начерти треугольник $$ABC$$ со сторонами $$AB=4\ \text{см}$$, $$BC=2\ \text{см}$$, $$AC=5\ \text{см}$$. Построй треугольник $$A_1B_1C_1$$, центрально-симметричный треугольнику $$ABC$$ относительно вершины $$B$$. Является ли точка $$B$$ центром симметрии четырёхугольника $$ACA_1C_1$$? Как это доказать?

Построим треугольник $$ABC$$ со сторонами $$AB=4$$ см, $$BC=2$$ см, $$AC=5$$ см.

Чтобы построить треугольник $$A_1B_1C_1$$, центрально-симметричный треугольнику $$ABC$$ относительно вершины $$B$$, отметим точки $$A_1$$ и $$C_1$$ так, чтобы $$B$$ была серединой отрезков $$AA_1$$ и $$CC_1$$. Тогда точка $$B$$ перейдёт сама в себя, то есть $$B_1=B$$.

При центральной симметрии отрезок переходит в равный ему параллельный отрезок, значит

$$AC \parallel A_1C_1,$$
$$AC = A_1C_1.$$

Кроме того, по построению

$$AA_1 \parallel CC_1,$$
$$AA_1 = CC_1.$$

Следовательно, четырёхугольник $$ACA_1C_1$$ — параллелограмм. Диагонали параллелограмма пересекаются и делятся пополам, значит точка их пересечения является центром симметрии. Этой точкой является $$B$$.

Ответ

Да, точка $$B$$ является центром симметрии четырёхугольника $$ACA_1C_1$$, так как этот четырёхугольник — параллелограмм, а точка $$B$$ является точкой пересечения его диагоналей.