Упр.670 Часть 3 ГДЗ Дорофеев Петерсон 6 класс (Математика)

а) Лыжник должен был пройти 8 км с определённой скоростью, чтобы вернуться в туристический лагерь к обеду. В середине пути он задержался на 10 мин. Однако, увеличив скорость на 2 км/ч, пришёл в лагерь вовремя. С какой скоростью шёл лыжник вторую половину пути?
б) Лодка может проплыть 20 км по течению реки и ещё 15 км против течения реки за то же время, которое требуется плоту, чтобы проплыть 75 км по этой реке. Скорость лодки 10 км/ч. Чему равна скорость течения реки?

а) Пусть сначала скорость лыжника была $$x$$ км/ч, тогда после увеличения она стала $$x+2$$ км/ч.

Весь путь равен $$8$$ км, значит, по плану лыжник должен был идти

$$\frac{8}{x}$$

часа. С учётом задержки на $$10$$ мин $$= \frac{1}{6}$$ ч он прошёл путь за

$$\frac{8}{x+2}+\frac{1}{6}$$

часа.

Составим уравнение:

$$\frac{8}{x}=\frac{8}{x+2}+\frac{1}{6}$$

Умножим обе части на $$6x(x+2)$$:

$$48(x+2)=48x+x(x+2)$$

$$48x+96=48x+x^2+2x$$

$$x^2+2x-96=0$$

$$D=2^2-4\cdot 1\cdot(-96)=388=4\cdot 97$$

$$x=\frac{-2\pm \sqrt{388}}{2}=-1\pm \sqrt{97}$$

Подходит положительное значение:

$$x=-1+\sqrt{97}$$

Тогда скорость во второй половине пути:

$$x+2=1+\sqrt{97}$$

б) Пусть скорость течения реки равна $$x$$ км/ч. Тогда скорость лодки по течению равна $$10+x$$ км/ч, а против течения — $$10-x$$ км/ч.

Время движения лодки:

$$\frac{20}{10+x}+\frac{15}{10-x}$$

Это же время равно времени, за которое плот проплывёт $$75$$ км, то есть

$$\frac{75}{x}$$

Составим уравнение:

$$\frac{20}{10+x}+\frac{15}{10-x}=\frac{75}{x}$$

Умножим на $$x(10+x)(10-x)$$:

$$20x(10-x)+15x(10+x)=75(100-x^2)$$

$$200x-20x^2+150x+15x^2=7500-75x^2$$

$$350x-5x^2=7500-75x^2$$

$$70x-x^2=1500-15x^2$$

$$14x^2+70x-1500=0$$

$$7x^2+35x-750=0$$

$$D=35^2-4\cdot 7\cdot(-750)=22025=25\cdot 881$$

$$x=\frac{-35\pm \sqrt{22025}}{14}$$

Берём положительный корень:

$$x=\frac{-35+\sqrt{22025}}{14}$$

Это и есть скорость течения реки.

Ответ

а) $$1+\sqrt{97}$$ км/ч; б) $$\frac{-35+\sqrt{22025}}{14}$$ км/ч.