Упр.661 Часть 3 ГДЗ Дорофеев Петерсон 6 класс (Математика)

Задача

а) ? a?Q: 2a < a; б) ? b?Q: b^2?b; в) ? m,n?Q: m+n?m-n; г) ? x,y?Q: xy < x:y.

Подробный ответ

Проверим каждое высказывание и, если оно ложное, запишем отрицание.

а) $$\exists a \in \mathbb{Q}: 2a < a.$$

Такое рациональное число существует, например $$a=-1$$. Тогда

$$2a=2\cdot(-1)=-2<-1=a.$$

Высказывание истинно.

б) $$\forall b \in \mathbb{Q}: b^2 \ge b.$$

Это высказывание ложно. Например, при $$b=\frac12$$ получаем

$$b^2=\left(\frac12\right)^2=\frac14<\frac12=b.$$

Отрицание:

$$\exists b \in \mathbb{Q}: b^2<b.$$

в) $$\forall m,n \in \mathbb{Q}: m+n \ge m-n.$$

Это высказывание ложно. Например, при $$m=-5$$ и $$n=-2$$ имеем

$$m+n=-5+(-2)=-7,$$

$$m-n=-5-(-2)=-3,$$

и действительно $$-7<-3.$$

Отрицание:

$$\exists m,n \in \mathbb{Q}: m+n<m-n.$$

г) $$\exists x,y \in \mathbb{Q}: xy<x:y.$$

Здесь $$x:y=\frac{x}{y}$$. Такое высказывание истинно, например при $$x=1$$ и $$y=2$$:

$$xy=1\cdot2=2,\qquad x:y=\frac12,$$

а значит $$2<\frac12$$ — неверно, поэтому этот пример не подходит. Возьмём $$x=\frac12$$ и $$y=2$$:

$$xy=\frac12\cdot2=1,\qquad x:y=\frac12:2=\frac14,$$

и снова $$1<\frac14$$ — неверно. Подберём числа так, чтобы произведение было меньше частного, например $$x=1$$, $$y=3$$:

$$xy=3,\qquad x:y=\frac13,$$

и неравенство не выполняется. Значит, нужно проверить само высказывание: оно ложно для всех положительных примеров, но в общем виде при рациональных числах может быть истинным, например при $$x=-1$$, $$y=2$$:

$$xy=-2,\qquad x:y=-\frac12,$$

и $$-2<-\frac12.$$

Следовательно, высказывание истинно.