Упр.655 Часть 3 ГДЗ Дорофеев Петерсон 6 класс (Математика)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Дорофеев, Петерсон 6 класс, Просвещение: 655. Начерти отрезок АС и построй его серединный перпендикуляр l. Отметь на прямой l точку В и проведи отрезки AВ и ВС. Пользуясь свойствами симметрии, докажи, что: а) треугольник АВС — равнобедренный; б) углы при основании треугольника АВС равны; в) медианы, проведённые к боковым сторонам треугольника ABC, равны. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 6 peterson6 part3/655 066

Подробный ответ

Так как прямая l — серединный перпендикуляр к отрезку $$AC$$, то точка $$B$$, лежащая на этой прямой, равноудалена от точек $$A$$ и $$C$$. Значит,

$$AB=BC.$$

Следовательно, треугольник $$ABC$$ равнобедренный с основанием $$AC$$.

Кроме того, точки $$A$$ и $$C$$ симметричны относительно прямой $$l$$, а точка $$B$$ лежит на оси симметрии. Поэтому треугольники $$AOB$$ и $$COB$$ равны. Отсюда равны углы при основании:

$$\angle BAC=\angle ACB.$$

Теперь докажем равенство медиан, проведённых к боковым сторонам. Пусть $$AM$$ — медиана к стороне $$BC$$, а $$CN$$ — медиана к стороне $$AB$$. Тогда

$$BM=\frac12 BC,\qquad BN=\frac12 AB.$$

Так как $$AB=BC$$, то

$$BM=BN.$$

Рассмотрим треугольники $$ABM$$ и $$CBN$$. В них:

$$AB=BC,$$

$$BM=BN,$$

$$\angle ABM=\angle CBN$$

как углы между соответственно равными сторонами. Значит, треугольники $$ABM$$ и $$CBN$$ равны по двум сторонам и углу между ними. Тогда

$$AM=CN.$$

Итак, медианы, проведённые к боковым сторонам треугольника $$ABC$$, равны.