Упр.621 Часть 3 ГДЗ Дорофеев Петерсон 6 класс (Математика)
- Прочитай высказывания и определи, истинны они или ложны. Построй отрицания ложных высказываний:
а) $$\forall a\in\mathbb{Q}: a<0\Rightarrow -a>0$$;
б) $$\forall b\in\mathbb{Q}: b<1\Rightarrow \frac{1}{b}>1$$;
в) $$\forall x\in\mathbb{Q}: x<1\Rightarrow |x|<1$$;
г) $$\forall y\in\mathbb{Q}: y^2=1\Rightarrow |y|=1$$.
Верны ли обратные утверждения? В каких случаях можно составить истинные высказывания со знаком $$\Leftrightarrow$$?
Рассмотрим каждое высказывание и проверим, истинно оно или ложно. Для ложного высказывания запишем отрицание.
а) $$\forall a \in \mathbb{Q}: \ a < 0 \Rightarrow -a > 0.$$
Если рациональное число меньше нуля, то противоположное ему число больше нуля. Это верно.
Обратное утверждение тоже верно: если $$a > 0,$$ то $$-a < 0.$$
Значит, можно записать равносильное утверждение:
$$\forall a \in \mathbb{Q}: \ a < 0 \Leftrightarrow -a > 0.$$
б) $$\forall b \in \mathbb{Q}: \ b < 1 \Rightarrow \frac{1}{b} > 1.$$
Это высказывание ложно. Например, при $$b=-2$$ имеем $$-2<1,$$ но
$$\frac{1}{-2}=-\frac12 < 1.$$
Отрицание:
$$\exists b \in \mathbb{Q}: \ b < 1 \text{ и } \frac{1}{b} \le 1.$$
Обратное утверждение: если $$\frac{1}{b} > 1,$$ то $$b < 1.$$ Оно тоже ложно, например при $$b=\frac12$$ получаем $$\frac{1}{b}=2>1,$$ но $$\frac12<1$$ — здесь обратное верно, а вот в общем виде равносильность не получается.
в) $$\forall x \in \mathbb{Q}: \ x < 1 \Rightarrow |x| < 1.$$
Это высказывание ложно. Например, при $$x=-5$$ имеем $$-5<1,$$ но $$|-5|=5>1.$$
Отрицание:
$$\exists x \in \mathbb{Q}: \ x < 1 \text{ и } |x| \ge 1.$$
Обратное утверждение: если $$|x| < 1,$$ то $$x<1.$$ Это верно, потому что из $$|x|<1$$ следует $$-1<x<1,$$ значит, в частности, $$x<1.$$
Следовательно, можно записать:
$$\forall x \in \mathbb{Q}: \ |x| < 1 \Rightarrow x < 1.$$
г) $$\forall y \in \mathbb{Q}: \ y^2=1 \Rightarrow |y|=1.$$
Это высказывание истинно, так как из $$y^2=1$$ следует $$y=\pm 1,$$ а значит, $$|y|=1.$$
Обратное утверждение тоже верно: если $$|y|=1,$$ то $$y=\pm 1,$$ следовательно, $$y^2=1.$$
Значит, можно записать равносильное утверждение:
$$\forall y \in \mathbb{Q}: \ y^2=1 \Leftrightarrow |y|=1.$$
Ответ
а) истинно; $$\forall a \in \mathbb{Q}: \ a < 0 \Leftrightarrow -a > 0.$$
б) ложно; отрицание: $$\exists b \in \mathbb{Q}: \ b < 1 \text{ и } \frac{1}{b} \le 1.$$
в) ложно; отрицание: $$\exists x \in \mathbb{Q}: \ x < 1 \text{ и } |x| \ge 1.$$
г) истинно; $$\forall y \in \mathbb{Q}: \ y^2=1 \Leftrightarrow |y|=1.$$
