Упр.621 Часть 3 ГДЗ Дорофеев Петерсон 6 класс (Математика)

Задача

а) ? a?Q: a < 0 - > -a > 0;
б) ? b?Q: b < 1 - > 1/b > 1;
в) ? x?Q: x < 1 - > |x| < 1; г) ? y?Q: y^2=1 - > |y|=1.
Верны ли обратные утверждения? В каких случаях можно составить истинные высказывания со знаком < = > ?

Подробный ответ

Рассмотрим каждое высказывание и проверим, истинно оно или ложно. Для ложного высказывания запишем отрицание.

а) $$\forall a \in \mathbb{Q}: \ a < 0 \Rightarrow -a > 0.$$

Если рациональное число меньше нуля, то противоположное ему число больше нуля. Это верно.

Обратное утверждение тоже верно: если $$a > 0,$$ то $$-a < 0.$$

Значит, можно записать равносильное утверждение:

$$\forall a \in \mathbb{Q}: \ a < 0 \Leftrightarrow -a > 0.$$

б) $$\forall b \in \mathbb{Q}: \ b < 1 \Rightarrow \frac{1}{b} > 1.$$

Это высказывание ложно. Например, при $$b=-2$$ имеем $$-2<1,$$ но

$$\frac{1}{-2}=-\frac12 < 1.$$

Отрицание:

$$\exists b \in \mathbb{Q}: \ b < 1 \text{ и } \frac{1}{b} \le 1.$$

Обратное утверждение: если $$\frac{1}{b} > 1,$$ то $$b < 1.$$ Оно тоже ложно, например при $$b=\frac12$$ получаем $$\frac{1}{b}=2>1,$$ но $$\frac12<1$$ — здесь обратное верно, а вот в общем виде равносильность не получается.

в) $$\forall x \in \mathbb{Q}: \ x < 1 \Rightarrow |x| < 1.$$

Это высказывание ложно. Например, при $$x=-5$$ имеем $$-5<1,$$ но $$|-5|=5>1.$$

Отрицание:

$$\exists x \in \mathbb{Q}: \ x < 1 \text{ и } |x| \ge 1.$$

Обратное утверждение: если $$|x| < 1,$$ то $$x<1.$$ Это верно, потому что из $$|x|<1$$ следует $$-1<x<1,$$ значит, в частности, $$x<1.$$

Следовательно, можно записать:

$$\forall x \in \mathbb{Q}: \ |x| < 1 \Rightarrow x < 1.$$

г) $$\forall y \in \mathbb{Q}: \ y^2=1 \Rightarrow |y|=1.$$

Это высказывание истинно, так как из $$y^2=1$$ следует $$y=\pm 1,$$ а значит, $$|y|=1.$$

Обратное утверждение тоже верно: если $$|y|=1,$$ то $$y=\pm 1,$$ следовательно, $$y^2=1.$$

Значит, можно записать равносильное утверждение:

$$\forall y \in \mathbb{Q}: \ y^2=1 \Leftrightarrow |y|=1.$$