Упр.56 Часть 2 ГДЗ Дорофеев Петерсон 6 класс (Математика)

2) Рассмотри теперь квадраты размером 3×3 клетки и найди в них группы из трех чисел, суммы которых будут одинаковы.

1) Рассмотрим любой квадрат $$2 \times 2$$ в таблице. Если в левом верхнем углу стоит число $$a$$, то остальные числа в этом квадрате будут:

$$ a,\ a+1,\ a+10,\ a+11 $$

Тогда суммы по диагоналям равны:

$$ a+(a+11) $$
и
$$ (a+1)+(a+10) $$

Сравним их:

$$ a+(a+11)=(a+1)+(a+10) $$

$$ 2a+11=2a+11 $$

Значит, суммы по диагоналям любого квадрата $$2 \times 2$$ равны.

Например:

$$ 24+35=34+25=59 $$

$$ 56+67=66+57=123 $$

$$ 88+99=98+89=187 $$

2) Теперь рассмотрим любой квадрат $$3 \times 3$$. Если в левом верхнем углу стоит число $$a$$, то числа в нём можно записать так:

$$ \begin{array}{ccc} a & a+1 & a+2 \\ a+10 & a+11 & a+12 \\ a+20 & a+21 & a+22 \end{array} $$

Суммы чисел по трём диагоналям, идущим слева направо вниз, будут:

$$ a+(a+11)+(a+22) $$

$$ (a+1)+(a+12)+(a+20) $$

$$ (a+2)+(a+10)+(a+21) $$

Вычислим:

$$ a+(a+11)+(a+22)=3a+33 $$

$$ (a+1)+(a+12)+(a+20)=3a+33 $$

$$ (a+2)+(a+10)+(a+21)=3a+33 $$

Следовательно, суммы чисел в этих трёх диагоналях равны.

Например, для квадрата

$$ \begin{array}{ccc} 44 & 45 & 46 \\ 54 & 55 & 56 \\ 64 & 65 & 66 \end{array} $$

получаем:

$$ 44+55+66=45+56+64=46+54+65=165 $$

Ответ

1) В любом квадрате $$2 \times 2$$ суммы по диагоналям равны. Это верно для любого такого квадрата в таблице.

2) В любом квадрате $$3 \times 3$$ равны суммы чисел в трёх диагоналях, идущих слева направо вниз.