Упр.56 Часть 2 ГДЗ Дорофеев Петерсон 6 класс (Математика)
- В квадрате размером $$10\times 10$$ клеток выписаны натуральные числа от $$1$$ до $$100$$, как показано на рисунке. Выбери внутри него любой квадрат размером $$2\times 2$$ клетки и сравни суммы, записанные по его диагоналям. Что ты замечаешь? Будут ли обладать этим же свойством аналогичные суммы в любом другом квадрате размером $$2\times 2$$ клетки? Обоснуй свой ответ.
- Рассмотри теперь квадраты размером $$3\times 3$$ клетки и найди в них группы из трех чисел, суммы которых будут одинаковы.
1) Рассмотрим любой квадрат $$2 \times 2$$ в таблице. Если в левом верхнем углу стоит число $$a$$, то остальные числа в этом квадрате будут:
$$a,\ a+1,\ a+10,\ a+11$$
Тогда суммы по диагоналям равны:
$$a+(a+11)$$
и
$$(a+1)+(a+10)$$
Сравним их:
$$a+(a+11)=(a+1)+(a+10)$$
$$2a+11=2a+11$$
Значит, суммы по диагоналям любого квадрата $$2 \times 2$$ равны.
Например:
$$24+35=34+25=59$$
$$56+67=66+57=123$$
$$88+99=98+89=187$$
2) Теперь рассмотрим любой квадрат $$3 \times 3$$. Если в левом верхнем углу стоит число $$a$$, то числа в нём можно записать так:
$$\begin{array}{ccc} a & a+1 & a+2 \\ a+10 & a+11 & a+12 \\ a+20 & a+21 & a+22 \end{array}$$
Суммы чисел по трём диагоналям, идущим слева направо вниз, будут:
$$a+(a+11)+(a+22)$$
$$(a+1)+(a+12)+(a+20)$$
$$(a+2)+(a+10)+(a+21)$$
Вычислим:
$$a+(a+11)+(a+22)=3a+33$$
$$(a+1)+(a+12)+(a+20)=3a+33$$
$$(a+2)+(a+10)+(a+21)=3a+33$$
Следовательно, суммы чисел в этих трёх диагоналях равны.
Например, для квадрата
$$\begin{array}{ccc} 44 & 45 & 46 \\ 54 & 55 & 56 \\ 64 & 65 & 66 \end{array}$$
получаем:
$$44+55+66=45+56+64=46+54+65=165$$
Ответ
1) В любом квадрате $$2 \times 2$$ суммы по диагоналям равны. Это верно для любого такого квадрата в таблице.
2) В любом квадрате $$3 \times 3$$ равны суммы чисел в трёх диагоналях, идущих слева направо вниз.
