Упр.545 Часть 2 ГДЗ Дорофеев Петерсон 6 класс (Математика)

Прочитай высказывание и определи, истинно оно или ложно. Построй отрицания ложных высказываний:

1. $$\forall a\in\mathbb{Q}: \frac{a}{-a}=\frac{-a}{a}=-1$$;
2. $$\exists a\in\mathbb{Q}: (-a)^2<0$$;
3. $$\forall a\in\mathbb{Q},\ a>0: \frac{a}{|a|}=\frac{|a|}{a}=1$$;
4. $$\forall a\in\mathbb{Q},\ a<0: \frac{a}{|a|}=\frac{|a|}{a}=-1$$.

1) Для любого рационального числа $$a \ne 0$$ выполняется

$$\frac{a}{-a}=\frac{-a}{a}=-1.$$

При $$a=0$$ выражения $$\frac{a}{-a}$$ и $$\frac{-a}{a}$$ не имеют смысла. Значит, высказывание ложно.

Отрицание:

$$\exists a \in \mathbb{Q}:\ \frac{a}{-a}\ne \frac{-a}{a}\ \text{или}\ \frac{a}{-a}\ne -1.$$

2) Квадрат любого числа неотрицателен, то есть

$$(-a)^2 \ge 0.$$

Поэтому утверждение $$(-a)^2<0$$ ложно.

Отрицание:

$$\forall a \in \mathbb{Q}:\ (-a)^2 \ge 0.$$

3) Если $$a>0$$, то $$|a|=a$$, значит

$$\frac{a}{|a|}=\frac{a}{a}=1.$$

Следовательно, высказывание истинно.

4) Если $$a<0$$, то $$|a|=-a$$, поэтому

$$\frac{a}{|a|}=\frac{a}{-a}=-1.$$

Следовательно, высказывание истинно.

Ответ

1) ложно; отрицание: $$\exists a \in \mathbb{Q}:\ \frac{a}{-a}\ne \frac{-a}{a}\ \text{или}\ \frac{a}{-a}\ne -1.$$

2) ложно; отрицание: $$\forall a \in \mathbb{Q}:\ (-a)^2 \ge 0.$$

3) истинно.

4) истинно.