Упр.53 Часть 3 ГДЗ Дорофеев Петерсон 6 класс (Математика)

Прочитай выражения: $$(a-b)^2$$; $$a^2-b^2$$; $$a^2-2ab+b^2$$. Найди значения этих выражений, если: а) $$a=4$$, $$b=1$$; б) $$a=-3$$, $$b=2$$; в) $$a=-1$$, $$b=-5$$. Что ты замечаешь? Проверь свою гипотезу для произвольно выбранных значений $$a$$ и $$b$$. Объясни полученный вывод, используя графическую модель.

Вычислим значения выражений для каждого набора чисел.

а) $$a=4,\ b=1$$

$$(a-b)^2=(4-1)^2=3^2=9$$
$$a^2-b^2=4^2-1^2=16-1=15$$
$$a^2-2ab+b^2=4^2-2\cdot4\cdot1+1^2=16-8+1=9$$

б) $$a=-3,\ b=2$$

$$(a-b)^2=(-3-2)^2=(-5)^2=25$$
$$a^2-b^2=(-3)^2-2^2=9-4=5$$
$$a^2-2ab+b^2=(-3)^2-2\cdot(-3)\cdot2+2^2=9+12+4=25$$

в) $$a=-1,\ b=-5$$

$$(a-b)^2=(-1-(-5))^2=(-1+5)^2=4^2=16$$
$$a^2-b^2=(-1)^2-(-5)^2=1-25=-24$$
$$a^2-2ab+b^2=(-1)^2-2\cdot(-1)\cdot(-5)+(-5)^2=1-10+25=16$$

Замечаем, что во всех случаях значения выражений $$(a-b)^2$$ и $$a^2-2ab+b^2$$ совпадают.

Проверим это для произвольных значений $$a$$ и $$b$$:

$$(a-b)^2=(a-b)(a-b)=a^2-ab-ab+b^2=a^2-2ab+b^2$$

Значит, тождество верно:

$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$

Графически это можно объяснить так: площадь квадрата со стороной $$a-b$$ равна площади большого квадрата со стороной $$a$$ без двух прямоугольников площадью $$ab$$ и без маленького квадрата площадью $$b^2$$, то есть

$$(a-b)^2=a^2-ab-ab+b^2=a^2-2ab+b^2.$$

Ответ

а) $$9,\ 15,\ 9$$;
б) $$25,\ 5,\ 25$$;
в) $$16,\ -24,\ 16$$.
$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$