Упр.53 Часть 3 ГДЗ Дорофеев Петерсон 6 класс (Математика)

Задача

(a-b)^2; a^2-b^2; a^2-2ab+b^2.
Найди значения этих выражений, если:
а) a=4, b=1; б) a=-3, b=2; в) a=-1, b=-5.
Что ты замечаешь?
Проверь свою гипотезу для произвольно выбранных значений а и b. Объясни полученный вывод, используя графическую модель.

Подробный ответ

Вычислим значения выражений для каждого набора чисел.

а) $$a=4,\ b=1$$

$$ (a-b)^2=(4-1)^2=3^2=9 $$
$$ a^2-b^2=4^2-1^2=16-1=15 $$
$$ a^2-2ab+b^2=4^2-2\cdot4\cdot1+1^2=16-8+1=9 $$

б) $$a=-3,\ b=2$$

$$ (a-b)^2=(-3-2)^2=(-5)^2=25 $$
$$ a^2-b^2=(-3)^2-2^2=9-4=5 $$
$$ a^2-2ab+b^2=(-3)^2-2\cdot(-3)\cdot2+2^2=9+12+4=25 $$

в) $$a=-1,\ b=-5$$

$$ (a-b)^2=(-1-(-5))^2=(-1+5)^2=4^2=16 $$
$$ a^2-b^2=(-1)^2-(-5)^2=1-25=-24 $$
$$ a^2-2ab+b^2=(-1)^2-2\cdot(-1)\cdot(-5)+(-5)^2=1-10+25=16 $$

Замечаем, что во всех случаях значения выражений $$ (a-b)^2 $$ и $$ a^2-2ab+b^2 $$ совпадают.

Проверим это для произвольных значений $$a$$ и $$b$$:

$$ (a-b)^2=(a-b)(a-b)=a^2-ab-ab+b^2=a^2-2ab+b^2 $$

Значит, тождество верно:

$$ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 $$

Графически это можно объяснить так: площадь квадрата со стороной $$a-b$$ равна площади большого квадрата со стороной $$a$$ без двух прямоугольников площадью $$ab$$ и без маленького квадрата площадью $$b^2$$, то есть

$$ (a-b)^2=a^2-ab-ab+b^2=a^2-2ab+b^2. $$