Упр.486 Часть 1 ГДЗ Дорофеев Петерсон 6 класс (Математика)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Дорофеев, Петерсон 6 класс, Просвещение: 486. Какие два двузначных простых числа получаются друг из друга перестановкой цифр, а их разность образует точный квадрат? *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 6 peterson6 part1/486 066

Подробный ответ

Пусть искомые двузначные простые числа записываются как $$\overline{ab}=10a+b$$ и $$\overline{ba}=10b+a$$, где $$a$$ и $$b$$ — цифры.

Тогда их разность равна

$$ (10b+a)-(10a+b)=10b+a-10a-b=9b-9a=9(b-a). $$

По условию эта разность — точный квадрат. Значит, число $$9(b-a)$$ должно быть квадратом. Так как оно делится на $$9$$, проверим квадраты, кратные $$9$$:

$$ 9,\ 36,\ 81. $$

Тогда

$$ 9(b-a)=9 \Rightarrow b-a=1; $$
$$ 9(b-a)=36 \Rightarrow b-a=4; $$
$$ 9(b-a)=81 \Rightarrow b-a=9. $$

Проверим возможные двузначные простые числа:

при $$b-a=1$$ получаются числа, например, $$12$$ и $$21$$, но они не простые;
при $$b-a=4$$ можно взять $$a=3$$, $$b=7$$, тогда числа $$37$$ и $$73$$ — простые;
при $$b-a=9$$ двузначные числа не подходят.

Значит, подходят числа $$37$$ и $$73$$.