Упр.456 Часть 2 ГДЗ Дорофеев Петерсон 6 класс (Математика)

1. В прямоугольнике $$ABCD$$ точка $$M$$ делит сторону $$AB$$ в отношении $$1:6$$, а точка $$N$$ делит сторону $$CD$$ в отношении $$3:4$$, считая соответственно от вершин $$A$$ и $$D$$. Известно, что $$AB=14\text{ см}$$, $$AD=5\text{ см}$$. Чему равно отношение площадей фигур, на которые отрезок $$MN$$ делит прямоугольник $$ABCD$$? Найдите лишние данные в условии этой задачи.

Обозначим площади получившихся фигур через $$S_{AMND}$$ и $$S_{MBCN}$$.

Так как точка $$M$$ делит сторону $$AB$$ в отношении $$1:6$$, а точка $$N$$ делит сторону $$CD$$ в отношении $$3:4$$, то

$$AM:MB=1:6,\qquad DN:NC=3:4.$$

Тогда можно сразу записать:

$$AM+MB=AB,\qquad DN+NC=CD.$$

Поскольку в прямоугольнике противоположные стороны равны, то $$AB=CD$$. Значит, для нахождения отношения площадей достаточно использовать только отношения отрезков на сторонах, а данные $$AB=14$$ см и $$AD=5$$ см являются лишними.

Найдём площади фигур. Фигуры $$AMND$$ и $$MBCN$$ — трапеции с высотой $$AD$$.

$$S_{AMND}=\frac12 \cdot AD \cdot (AM+DN),$$
$$S_{MBCN}=\frac12 \cdot BC \cdot (MB+NC).$$

Так как $$AD=BC$$, то достаточно сравнить суммы оснований:

$$AM+DN=1+3=4,$$
$$MB+NC=6+4=10.$$

Следовательно,

$$S_{AMND}:S_{MBCN}=4:10=2:5.$$

Ответ

$$2:5$$. Лишние данные: $$AB=14$$ см и $$AD=5$$ см.