Упр.456 Часть 2 ГДЗ Дорофеев Петерсон 6 класс (Математика)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Дорофеев, Петерсон 6 класс, Просвещение: 456. В прямоугольнике ABCD точка М делит сторону AВ в отношении 1 : 6, а точка N делит сторону CD в отношении 3 : 4, считая соответственно от вершин А и D. Известно, что AВ — 14 см, AD — 5 см. Чему равно отношение площадей фигур, на которые отрезок MN делит прямоугольник ABCD? Найди лишние данные в условии этой задачи. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 6 peterson6 part2/456 066

Подробный ответ

Обозначим площади получившихся фигур через $$S_{AMND}$$ и $$S_{MBCN}$$.

Так как точка $$M$$ делит сторону $$AB$$ в отношении $$1:6$$, а точка $$N$$ делит сторону $$CD$$ в отношении $$3:4$$, то

$$ AM:MB=1:6,\qquad DN:NC=3:4. $$

Тогда можно сразу записать:

$$ AM+MB=AB,\qquad DN+NC=CD. $$

Поскольку в прямоугольнике противоположные стороны равны, то $$AB=CD$$. Значит, для нахождения отношения площадей достаточно использовать только отношения отрезков на сторонах, а данные $$AB=14$$ см и $$AD=5$$ см являются лишними.

Найдём площади фигур. Фигуры $$AMND$$ и $$MBCN$$ — трапеции с высотой $$AD$$.

$$ S_{AMND}=\frac12 \cdot AD \cdot (AM+DN), $$
$$ S_{MBCN}=\frac12 \cdot BC \cdot (MB+NC). $$

Так как $$AD=BC$$, то достаточно сравнить суммы оснований:

$$ AM+DN=1+3=4, $$
$$ MB+NC=6+4=10. $$

Следовательно,

$$ S_{AMND}:S_{MBCN}=4:10=2:5. $$