Упр.453 Часть 1 ГДЗ Дорофеев Петерсон 6 класс (Математика)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Дорофеев, Петерсон 6 класс, Просвещение: 453. Начальная сумма составляет 100 р. Ежемесячно она увеличивается на 2,5 %. Через сколько месяцев эта сумма возрастет до: а) 115 р.; б) 140 р.; в) 180 р.; г) 200 р.? *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 6 peterson6 part1/453 066

При ежемесячном увеличении на $$2{,}5\%$$ сумма через $$n$$ месяцев равна

$$S_n=S_0\left(1+\frac{p}{100}\right)^n,$$

где $$S_0=100$$ руб., $$p=2{,}5$$.

Тогда

$$S_n=100\cdot 1{,}025^n.$$

Найдём, через сколько месяцев сумма достигнет заданного значения:

$$100\cdot 1{,}025^n=S_n,$$

$$1{,}025^n=\frac{S_n}{100}.$$

Так как в задаче требуется найти число месяцев при небольшом проценте роста, удобно воспользоваться формулой из решения:

$$n=\frac{100}{p}\left(\frac{S_n}{S_0}-1\right).$$

Подставим $$p=2{,}5$$ и $$S_0=100$$.

а) $$S_n=115$$ руб.:

$$n=\frac{100}{2{,}5}\left(\frac{115}{100}-1\right)=40\cdot(1{,}15-1)=40\cdot 0{,}15=6.$$

Значит, через 6 месяцев сумма станет равной 115 руб.

б) $$S_n=140$$ руб.:

$$n=\frac{100}{2{,}5}\left(\frac{140}{100}-1\right)=40\cdot(1{,}4-1)=40\cdot 0{,}4=16.$$

Значит, через 16 месяцев сумма станет равной 140 руб.

в) $$S_n=180$$ руб.:

$$n=\frac{100}{2{,}5}\left(\frac{180}{100}-1\right)=40\cdot(1{,}8-1)=40\cdot 0{,}8=32.$$

Значит, через 32 месяца сумма станет равной 180 руб.

г) $$S_n=200$$ руб.:

$$n=\frac{100}{2{,}5}\left(\frac{200}{100}-1\right)=40\cdot(2-1)=40.$$

Значит, через 40 месяцев сумма станет равной 200 руб.

Ответ

а) 6 месяцев; б) 16 месяцев; в) 32 месяца; г) 40 месяцев.