Упр.448 Часть 3 ГДЗ Дорофеев Петерсон 6 класс (Математика)

б) Найди отношения отрезков, на которые построенная окружность делит отрезки АН, ВН и СH, где H — ортоцентр треугольника АВС. Что ты замечаешь?

Пусть в треугольнике $$ABC$$ проведены высоты $$AA_1$$, $$BB_1$$ и $$CC_1$$, а $$H$$ — их точка пересечения.

Построим окружность, описанную около треугольника $$A_1B_1C_1$$. Она пересечёт стороны треугольника $$ABC$$ ещё в трёх точках, отличных от оснований высот. Обозначим их $$M$$, $$N$$ и $$K$$.

Из свойств ортоцентра и окружности, описанной около треугольника, следует, что эти точки являются серединами соответствующих сторон треугольника $$ABC$$:

• $$M$$ — середина $$AC$$,
• $$N$$ — середина $$BC$$,
• $$K$$ — середина $$AB$$.

Теперь рассмотрим отрезки $$AH$$, $$BH$$ и $$CH$$. Построенная окружность пересекает каждый из них в его середине, то есть делит их на две равные части.

Следовательно, если обозначить точки пересечения окружности с отрезками $$AH$$, $$BH$$ и $$CH$$, то для каждого из этих отрезков получаем отношение

$$1:1.$$

Значит, окружность делит отрезки $$AH$$, $$BH$$ и $$CH$$ пополам.

Ответ

а) Точки пересечения окружности со сторонами треугольника $$ABC$$, не являющиеся основаниями высот, — это середины сторон треугольника.
б) Окружность делит отрезки $$AH$$, $$BH$$ и $$CH$$ на две равные части, то есть отношение равно $$1:1$$.