Упр.421 Часть 2 ГДЗ Дорофеев Петерсон 6 класс (Математика)

Старинная задача. У Власа, Тараса и Панаса было поровну голов скота: лошадей, коров и овец. У трёх вместе лошадей в два раза меньше, чем коров, а коров в три раза меньше, чем овец. Лошадей у Власа и Тараса поровну, а у Панаса в четыре раза меньше, чем у трёх вместе. Коров у Тараса и Панаса поровну, а у Власа коров в три раза меньше, чем у Тараса и Панаса у обоих вместе. Овец у Власа было двумя больше, чем у Тараса. Сколько у кого было лошадей, коров и овец?

Обозначим общее число лошадей у Власа, Тараса и Панаса через $$a$$. Тогда коров у них вместе в 2 раза больше, то есть $$2a$$, а овец — в 3 раза больше, чем коров, значит $$6a$$.

По условию у Панаса лошадей в 4 раза меньше, чем у всех троих вместе, значит у него $$\frac{a}{4}$$ лошадей. Тогда у Власа и Тараса вместе:

$$a-\frac{a}{4}=\frac{3a}{4}$$

Так как у Власа и Тараса лошадей поровну, то у каждого:

$$\frac{3a}{4}:2=\frac{3a}{8}$$

Значит, у Власа и Тараса по $$\frac{3a}{8}$$ лошадей.

Пусть у Тараса овец $$b$$, тогда у Власа овец $$b+2$$. Следовательно, у Панаса овец:

$$6a-b-(b+2)=6a-2b-2$$

Теперь найдём количество коров. У Тараса и Панаса коров поровну, а у Власа коров в 3 раза меньше, чем у Тараса и Панаса вместе. Значит, у Власа:

$$\frac{1}{3}\cdot 2a=\frac{2a}{3}$$

Но по условию у Власа и Тараса коров в отношении $$1:3$$, поэтому удобнее записать так: у Власа $$\frac{a}{2}$$ коров, а у Тараса и Панаса по $$\frac{3a}{4}$$ коров.

Составим уравнение по общему числу голов у Власа и Тараса, так как оно одинаково:

$$\frac{3a}{8}+\frac{a}{2}+b+2=\frac{3a}{8}+\frac{3a}{4}+b$$

Сократим одинаковые слагаемые:

$$\frac{a}{2}+2=\frac{3a}{4}$$

$$2=\frac{3a}{4}-\frac{a}{2}=\frac{3a}{4}-\frac{2a}{4}=\frac{a}{4}$$

$$a=8$$

Теперь подставим $$a=8$$ во второе уравнение, полученное из равенства общего числа голов у Тараса и Панаса:

$$\frac{3a}{8}+\frac{3a}{4}+b=\frac{a}{4}+\frac{3a}{4}+6a-2b-2$$

$$\frac{3\cdot 8}{8}+\frac{3\cdot 8}{4}+b=\frac{8}{4}+\frac{3\cdot 8}{4}+6\cdot 8-2b-2$$

$$3+6+b=2+6+48-2b-2$$

$$9+b=54-2b$$

$$3b=45$$

$$b=15$$

Тогда:

• у Власа овец $$b+2=17$$;
• у Тараса овец $$15$$;
• у Панаса овец $$6\cdot 8-2\cdot 15-2=16$$.

Найдём остальные животные:

У Власа:

$$\text{лошадей }=\frac{3a}{8}=\frac{3\cdot 8}{8}=3,\quad \text{коров }=\frac{a}{2}=\frac{8}{2}=4,\quad \text{овец }=17$$

У Тараса:

$$\text{лошадей }=\frac{3a}{8}=3,\quad \text{коров }=\frac{3a}{4}=\frac{3\cdot 8}{4}=6,\quad \text{овец }=15$$

У Панаса:

$$\text{лошадей }=\frac{a}{4}=\frac{8}{4}=2,\quad \text{коров }=\frac{3a}{4}=6,\quad \text{овец }=16$$

Ответ

У Власа — 3 лошади, 4 коровы, 17 овец; у Тараса — 3 лошади, 6 коров, 15 овец; у Панаса — 2 лошади, 6 коров, 16 овец.