Упр.415 Часть 3 ГДЗ Дорофеев Петерсон 6 класс (Математика)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Дорофеев, Петерсон 6 класс, Просвещение: 415. Прямоугольный кусок волшебной кожи («шагреневая кожа») исполняет любые желания своего владельца, но после каждого исполнения желания он уменьшается на половину своей длины и на одну треть ширины. После исполнения 5 желаний он имел площадь 12 см^2, а после двух желаний его ширина была 9 см. Какой была его длина после исполнения первого желания? *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 6 peterson6 part3/415 066

Пусть первоначально длина куска была $$a$$ см, а ширина — $$b$$ см.

После каждого желания длина уменьшается в 2 раза, а ширина — на треть, то есть умножается на $$\frac{2}{3}$$.

Тогда после 5 желаний:

$$ \text{длина}=\frac{a}{2^5}=\frac{a}{32}, \qquad \text{ширина}=b\left(\frac{2}{3}\right)^5=\frac{32b}{243}. $$

По условию площадь после 5 желаний равна $$12\text{ см}^2$$, значит:

$$ \frac{a}{32}\cdot \frac{32b}{243}=12. $$

После 2 желаний ширина была:

$$ b\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{4b}{9}=9. $$

Отсюда:

$$ 4b=81,\qquad b=\frac{81}{4}. $$

Подставим это в уравнение площади:

$$ \frac{a}{32}\cdot \frac{32}{243}\cdot \frac{81}{4}=12. $$

Сократим:

$$ \frac{a}{4}\cdot \frac{1}{3}=12, $$

$$ \frac{a}{12}=12, $$

$$ a=144. $$

Это была первоначальная длина. После первого желания длина стала в 2 раза меньше:

$$ \frac{144}{2}=72. $$

Ответ

$$72\text{ см}$$