Упр.415 Часть 3 ГДЗ Дорофеев Петерсон 6 класс (Математика)

1. Прямоугольный кусок волшебной кожи («шагреневая кожа») исполняет любые желания своего владельца, но после каждого исполнения желания он уменьшается на половину своей длины и на одну треть ширины. После исполнения 5 желаний он имел площадь $$12\ \text{см}^2$$, а после двух желаний его ширина была $$9\ \text{см}$$. Какой была его длина после исполнения первого желания?

Пусть первоначально длина куска была $$a$$ см, а ширина — $$b$$ см.

После каждого желания длина уменьшается в 2 раза, а ширина — на треть, то есть умножается на $$\frac{2}{3}$$.

Тогда после 5 желаний:

$$\text{длина}=\frac{a}{2^5}=\frac{a}{32}, \qquad \text{ширина}=b\left(\frac{2}{3}\right)^5=\frac{32b}{243}.$$

По условию площадь после 5 желаний равна $$12\text{ см}^2$$, значит:

$$\frac{a}{32}\cdot \frac{32b}{243}=12.$$

После 2 желаний ширина была:

$$b\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{4b}{9}=9.$$

Отсюда:

$$4b=81,\qquad b=\frac{81}{4}.$$

Подставим это в уравнение площади:

$$\frac{a}{32}\cdot \frac{32}{243}\cdot \frac{81}{4}=12.$$

Сократим:

$$\frac{a}{4}\cdot \frac{1}{3}=12,$$

$$\frac{a}{12}=12,$$

$$a=144.$$

Это была первоначальная длина. После первого желания длина стала в 2 раза меньше:

$$\frac{144}{2}=72.$$

Ответ

$$72\text{ см}$$