Упр.399 Часть 1 ГДЗ Дорофеев Петерсон 6 класс (Математика)

Переведи высказывания с математического языка на русский и докажи их:

1. $$\exists a,b\in\mathbb{N}: a^2-3b=6$$;
2. $$\exists x,y\in\mathbb{N}: x\ne y \text{ и } x^y=y^x$$;
3. $$\forall a,b,n\in\mathbb{N}: (an):(bn)=a:b$$;
4. $$\forall n\in\mathbb{N}: [(2n+1)+(2n+3)]$$-кратно 4.

1) Высказывание означает: существуют такие натуральные числа $$a$$ и $$b$$, что $$a^2-3b=6$$.

Это верно, например, при $$a=6$$, $$b=10$$:

$$6^2-3\cdot 10=36-30=6$$

Значит, высказывание истинно.

2) Высказывание означает: существуют два различных натуральных числа $$x$$ и $$y$$, для которых $$x^y=y^x$$.

Это верно, например, при $$x=2$$, $$y=4$$:

$$2^4=16,\qquad 4^2=16$$

Следовательно, высказывание истинно.

3) Высказывание означает: для любых натуральных чисел $$a$$, $$b$$ и $$n$$ частное $$\frac{an}{bn}$$ равно $$\frac{a}{b}$$.

Действительно, если умножить делимое и делитель на одно и то же натуральное число $$n$$, то частное не изменится:

$$\frac{an}{bn}=\frac{a\cdot n}{b\cdot n}=\frac{a}{b}$$

Значит, высказывание истинно.

4) Высказывание означает: для любого натурального числа сумма $$(2n+1)+(2n+3)$$ кратна $$4$$.

Преобразуем сумму:

$$(2n+1)+(2n+3)=4n+4=4(n+1)$$

Получили произведение на $$4$$, значит, сумма кратна $$4$$. Высказывание истинно.

Ответ

1) Истинно. 2) Истинно. 3) Истинно. 4) Истинно.