Упр.390 Часть 2 ГДЗ Дорофеев Петерсон 6 класс (Математика)

Трое рабочих копали канаву. Сначала первый рабочий проработал половину времени, необходимого двум другим, чтобы вырыть всю канаву. Затем второй рабочий проработал половину времени, необходимого двум другим, чтобы вырыть всю канаву. И наконец, третий рабочий проработал половину времени, необходимого двум другим, чтобы вырыть всю канаву. В результате канава была вырыта. Во сколько раз быстрее была бы вырыта канава, если бы одновременно работали все трое рабочих?

Обозначим производительности рабочих через $$a$$, $$b$$ и $$c$$. Тогда, если бы они работали вместе, вся канава была бы вырыта за время

$$\frac{1}{a+b+c}.$$

По условию первый рабочий работал половину времени, необходимого двум другим для выполнения всей работы, значит он затратил

$$\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{b+c}.$$

Аналогично второй и третий рабочие затратилb:

$$\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{a+c}, \qquad \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{a+b}.$$

Так как канава была вырыта, сумма этих времен равна 1:

$$\frac{1}{2}\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b}\right)=1.$$

Умножим на 2:

$$\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b}=2.$$

Теперь сравним время работы по очереди с временем совместной работы:

$$\frac{\frac{1}{2}\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b}\right)}{\frac{1}{a+b+c}}.$$

Подставим найденную сумму:

$$\frac{1}{2}\cdot 2 \cdot (a+b+c)=a+b+c.$$

Но

$$\frac{a+b+c}{a+b+c}=1,$$

то есть совместная работа была бы в

$$\frac{5}{2}$$

раза быстрее, чем работа по очереди.

Ответ

В $$2{,}5$$ раза быстрее.