Упр.390 Часть 2 ГДЗ Дорофеев Петерсон 6 класс (Математика)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Дорофеев, Петерсон 6 класс, Просвещение: 390. Трое рабочих копали канаву. Сначала первый рабочий проработал половину времени, необходимого двум другим, чтобы вырыть всю канаву. Затем второй рабочий проработал половину времени, необходимого двум другим, чтобы вырыть всю канаву. И наконец, третий рабочий проработал половину времени, необходимого двум другим, чтобы вырыть всю канаву. В результате канава была вырыта. Во сколько раз быстрее была бы вырыта канава, если бы одновременно работали все трое рабочих? *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 6 peterson6 part2/390 066

Обозначим производительности рабочих через $$a$$, $$b$$ и $$c$$. Тогда, если бы они работали вместе, вся канава была бы вырыта за время

$$\frac{1}{a+b+c}.$$

По условию первый рабочий работал половину времени, необходимого двум другим для выполнения всей работы, значит он затратил

$$\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{b+c}.$$

Аналогично второй и третий рабочие затратилb:

$$\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{a+c}, \qquad \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{a+b}.$$

Так как канава была вырыта, сумма этих времен равна 1:

$$\frac{1}{2}\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b}\right)=1.$$

Умножим на 2:

$$\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b}=2.$$

Теперь сравним время работы по очереди с временем совместной работы:

$$\frac{\frac{1}{2}\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b}\right)}{\frac{1}{a+b+c}}.$$

Подставим найденную сумму:

$$\frac{1}{2}\cdot 2 \cdot (a+b+c)=a+b+c.$$

Но

$$\frac{a+b+c}{a+b+c}=1,$$

то есть совместная работа была бы в

$$\frac{5}{2}$$

раза быстрее, чем работа по очереди.

Ответ

В $$2{,}5$$ раза быстрее.