Упр.315 Часть 3 ГДЗ Дорофеев Петерсон 6 класс (Математика)

1. а) В прямоугольной системе координат построй четырёхугольник $$ABCD$$, если $$A(-6; 2)$$, $$B(6; 8)$$, $$C(8; -5)$$ и $$D(-4; -2)$$. Найди координаты точки пересечения его диагоналей.
   
   б) Построй окружность с центром в точке $$A(-3; 5)$$ и радиусом 5 единичных отрезков. Найди координаты её точек пересечения с осями координат.

а) Найдём точку пересечения диагоналей четырёхугольника. Диагонали — это отрезки $$AC$$ и $$BD$$.

Составим уравнение прямой $$AC$$ по двум точкам $$A(-6;2)$$ и $$C(8;-5)$$.

$$k=\frac{-5-2}{8-(-6)}=\frac{-7}{14}=-\frac12$$

Тогда

$$y-2=-\frac12(x+6)$$

$$y=-\frac12x-1$$

Теперь найдём уравнение прямой $$BD$$ по точкам $$B(6;8)$$ и $$D(-4;-2)$$.

$$k=\frac{-2-8}{-4-6}=\frac{-10}{-10}=1$$

Значит,

$$y-8=1(x-6)$$

$$y=x+2$$

Найдём точку пересечения диагоналей, решив систему:

$$\begin{cases} y=-\frac12x-1,\\ y=x+2. \end{cases}$$

$$x+2=-\frac12x-1$$

$$\frac32x=-3$$

$$x=-2$$

$$y=x+2=0$$

Точка пересечения диагоналей: $$E(-2;0)$$.

б) Окружность с центром $$A(-3;5)$$ и радиусом $$5$$ имеет уравнение

$$(x+3)^2+(y-5)^2=25.$$

Найдём точки пересечения с осью $$Ox$$, где $$y=0$$:

$$(x+3)^2+(0-5)^2=25$$

$$(x+3)^2+25=25$$

$$(x+3)^2=0$$

$$x=-3$$

Получаем точку $$E(-3;0)$$.

Найдём точки пересечения с осью $$Oy$$, где $$x=0$$:

$$(0+3)^2+(y-5)^2=25$$

$$9+(y-5)^2=25$$

$$(y-5)^2=16$$

$$y-5=\pm 4$$

$$y=1 \quad \text{или} \quad y=9$$

Получаем точки $$F(0;1)$$ и $$K(0;9)$$.

Ответ

а) $$E(-2;0)$$.

б) $$(-3;0),\ (0;1),\ (0;9)$$.