Упр.296 Часть 1 ГДЗ Дорофеев Петерсон 6 класс (Математика)
- Из Иванова в Москву за учебниками математики отправился микроавтобус, который прошёл весь путь со средней скоростью $$50\ \text{км/ч}$$. На обратном пути его средняя скорость составила только $$40\ \text{км/ч}$$. Чему равна средняя скорость микроавтобуса на полном маршруте Иваново — Москва — Иваново? Сравни её со средним арифметическим скоростей по дороге «туда» и «обратно». (Указание: расстояние между Москвой и Ивановом обозначь я.)
- Реши эту же задачу для «буквенных» скоростей $$v_1$$ и $$v_2$$. Полученное выражение называют средним гармоническим чисел $$v_1$$ и $$v_2$$. Придумай определение среднего гармонического трёх, четырёх и вообще любого количества чисел.
- В этой задаче среднее гармоническое чисел $$50$$ и $$40$$ оказалось меньше их среднего арифметического. Будет ли такое неравенство верно и для других чисел? Проведи несколько экспериментов. Можно ли на их основании сделать общий вывод? Почему?
1) Пусть расстояние между Москвой и Ивановом равно $$s$$ км.
Тогда на путь туда микроавтобус затратил время $$\frac{s}{50}$$ ч, а на обратный путь — $$\frac{s}{40}$$ ч.
Общий путь равен $$2s$$, а общее время:
$$\frac{s}{50}+\frac{s}{40}=\frac{4s+5s}{200}=\frac{9s}{200}$$
Средняя скорость на полном маршруте:
$$2s:\frac{9s}{200}=2s\cdot\frac{200}{9s}=\frac{400}{9}=44\frac{4}{9}\ \text{км/ч}$$
Среднее арифметическое скоростей:
$$\frac{50+40}{2}=\frac{90}{2}=45\ \text{км/ч}$$
Сравниваем:
$$44\frac{4}{9}<45$$
Значит, средняя скорость на полном маршруте меньше среднего арифметического скоростей.
2) Для скоростей $$v_1$$ и $$v_2$$ пусть расстояние между городами равно $$s$$. Тогда время в пути туда и обратно равно соответственно $$\frac{s}{v_1}$$ и $$\frac{s}{v_2}$$.
Средняя скорость на полном маршруте:
$$2s:\left(\frac{s}{v_1}+\frac{s}{v_2}\right) =2s\cdot\frac{v_1v_2}{s(v_1+v_2)} =\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}$$
Это и есть среднее гармоническое двух чисел $$v_1$$ и $$v_2$$.
Среднее гармоническое трёх чисел:
$$\frac{3}{\frac{1}{v_1}+\frac{1}{v_2}+\frac{1}{v_3}}$$
Среднее гармоническое четырёх чисел:
$$\frac{4}{\frac{1}{v_1}+\frac{1}{v_2}+\frac{1}{v_3}+\frac{1}{v_4}}$$
Вообще, среднее гармоническое $$n$$ чисел:
$$\frac{n}{\frac{1}{v_1}+\frac{1}{v_2}+\cdots+\frac{1}{v_n}}$$
3) Проверим несколько примеров.
Для чисел $$60$$ и $$50$$:
$$\frac{2}{\frac{1}{60}+\frac{1}{50}} =\frac{2}{\frac{11}{300}} =\frac{600}{11} =54\frac{6}{11}$$
Среднее арифметическое:
$$\frac{60+50}{2}=55$$
Получаем $$54\frac{6}{11}<55$$.
Для чисел $$30$$ и $$70$$:
$$\frac{2}{\frac{1}{30}+\frac{1}{70}} =\frac{2}{\frac{1}{21}} =42$$
Среднее арифметическое:
$$\frac{30+70}{2}=50$$
Получаем $$42<50$$.
Если числа равны, например $$50$$ и $$50$$, то:
$$\frac{2}{\frac{1}{50}+\frac{1}{50}}=50, \qquad \frac{50+50}{2}=50$$
Значит, среднее гармоническое двух положительных чисел всегда меньше или равно их среднему арифметическому, а равенство бывает только при равных числах.
Ответ
1) $$44\frac{4}{9}\ \text{км/ч}$$, это меньше $$45\ \text{км/ч}$$.
2) $$\dfrac{2v_1v_2}{v_1+v_2}$$; для $$n$$ чисел: $$\dfrac{n}{\frac{1}{v_1}+\frac{1}{v_2}+\cdots+\frac{1}{v_n}}$$.
3) Да, для положительных чисел среднее гармоническое не больше среднего арифметического; равенство только при равных числах.
