Упр.296 Часть 1 ГДЗ Дорофеев Петерсон 6 класс (Математика)

Задача

2) Реши эту же задачу для “буквенных” скоростей v_1, и v_2 Полученное выражение называют средним гармоническим чисел v_1, и v_2. Придумай определение среднего гармонического трех, четырех и вообще любого количества чисел.
3) В этой задаче среднее гармоническое чисел 50 и 40 оказалось меньше их среднего арифметического. Будет ли такое неравенство верно и для других чисел? Проведи несколько экспериментов. Можно ли на их основании сделать общий вывод? Почему?

Подробный ответ

1) Пусть расстояние между Москвой и Ивановом равно $$s$$ км.

Тогда на путь туда микроавтобус затратил время $$\frac{s}{50}$$ ч, а на обратный путь — $$\frac{s}{40}$$ ч.

Общий путь равен $$2s$$, а общее время:

$$ \frac{s}{50}+\frac{s}{40}=\frac{4s+5s}{200}=\frac{9s}{200} $$

Средняя скорость на полном маршруте:

$$ 2s:\frac{9s}{200}=2s\cdot\frac{200}{9s}=\frac{400}{9}=44\frac{4}{9}\ \text{км/ч} $$

Среднее арифметическое скоростей:

$$ \frac{50+40}{2}=\frac{90}{2}=45\ \text{км/ч} $$

Сравниваем:

$$ 44\frac{4}{9}<45 $$

Значит, средняя скорость на полном маршруте меньше среднего арифметического скоростей.

2) Для скоростей $$v_1$$ и $$v_2$$ пусть расстояние между городами равно $$s$$. Тогда время в пути туда и обратно равно соответственно $$\frac{s}{v_1}$$ и $$\frac{s}{v_2}$$.

Средняя скорость на полном маршруте:

$$ 2s:\left(\frac{s}{v_1}+\frac{s}{v_2}\right) =2s\cdot\frac{v_1v_2}{s(v_1+v_2)} =\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2} $$

Это и есть среднее гармоническое двух чисел $$v_1$$ и $$v_2$$.

Среднее гармоническое трёх чисел:

$$ \frac{3}{\frac{1}{v_1}+\frac{1}{v_2}+\frac{1}{v_3}} $$

Среднее гармоническое четырёх чисел:

$$ \frac{4}{\frac{1}{v_1}+\frac{1}{v_2}+\frac{1}{v_3}+\frac{1}{v_4}} $$

Вообще, среднее гармоническое $$n$$ чисел:

$$ \frac{n}{\frac{1}{v_1}+\frac{1}{v_2}+\cdots+\frac{1}{v_n}} $$

3) Проверим несколько примеров.

Для чисел $$60$$ и $$50$$:

$$ \frac{2}{\frac{1}{60}+\frac{1}{50}} =\frac{2}{\frac{11}{300}} =\frac{600}{11} =54\frac{6}{11} $$

Среднее арифметическое:

$$ \frac{60+50}{2}=55 $$

Получаем $$54\frac{6}{11}<55$$.

Для чисел $$30$$ и $$70$$:

$$ \frac{2}{\frac{1}{30}+\frac{1}{70}} =\frac{2}{\frac{1}{21}} =42 $$

Среднее арифметическое:

$$ \frac{30+70}{2}=50 $$

Получаем $$42<50$$.

Если числа равны, например $$50$$ и $$50$$, то:

$$ \frac{2}{\frac{1}{50}+\frac{1}{50}}=50, \qquad \frac{50+50}{2}=50 $$

Значит, среднее гармоническое двух положительных чисел всегда меньше или равно их среднему арифметическому, а равенство бывает только при равных числах.