Упр.293 Часть 3 ГДЗ Дорофеев Петерсон 6 класс (Математика)

1. Вычисли сумму, представляя каждое слагаемое в виде разности дробей с числителями, равными 1:
   а) $$\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+\frac{1}{4\cdot5}+\frac{1}{5\cdot6}+\frac{1}{6\cdot7}+\frac{1}{7\cdot8}+\frac{1}{8\cdot9}+\frac{1}{9\cdot10}$$;
   б) $$\frac{1}{6\cdot7}+\frac{1}{7\cdot8}+\ldots+\frac{1}{48\cdot49}+\frac{1}{49\cdot50}$$.

Представим каждую дробь в виде разности:

$$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$$

а)

$$\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\frac{1}{4\cdot 5}+\frac{1}{5\cdot 6}+\frac{1}{6\cdot 7}+\frac{1}{7\cdot 8}+\frac{1}{8\cdot 9}+\frac{1}{9\cdot 10}$$

$$=\left(1-\frac12\right)+\left(\frac12-\frac13\right)+\left(\frac13-\frac14\right)+\left(\frac14-\frac15\right)+\left(\frac15-\frac16\right)+\left(\frac16-\frac17\right)+\left(\frac17-\frac18\right)+\left(\frac18-\frac19\right)+\left(\frac19-\frac1{10}\right)$$

Сокращаются все промежуточные слагаемые:

$$=1-\frac1{10}=\frac9{10}$$

б)

$$\frac{1}{6\cdot 7}+\frac{1}{7\cdot 8}+\dots+\frac{1}{48\cdot 49}+\frac{1}{49\cdot 50}$$

$$=\left(\frac16-\frac17\right)+\left(\frac17-\frac18\right)+\dots+\left(\frac1{48}-\frac1{49}\right)+\left(\frac1{49}-\frac1{50}\right)$$

После сокращения остаётся:

$$\frac16-\frac1{50}=\frac{25-3}{150}=\frac{22}{150}=\frac{11}{75}$$

Ответ

а) $$\frac9{10}$$; б) $$\frac{11}{75}$$.