Упр.238 Часть 1 ГДЗ Дорофеев Петерсон 6 класс (Математика)

Найди методом перебора множество всех пар натуральных чисел $$x$$ и $$y$$, удовлетворяющих уравнению:

1. $$3x+y^2=19$$;
2. $$x^2=20-y^2$$;
3. $$(x-2y)(y+2x)=12$$.

1) $$3x+y^2=19$$

Так как $$x$$ и $$y$$ — натуральные числа, то $$y^2<19$$, значит $$y=1,2,3,4$$.

Проверим эти значения:

$$y=1:\ 19-1^2=18,\ x=\frac{18}{3}=6$$
$$y=2:\ 19-2^2=15,\ x=\frac{15}{3}=5$$
$$y=3:\ 19-3^2=10,\ 10 \text{ не делится на } 3$$
$$y=4:\ 19-4^2=3,\ x=\frac{3}{3}=1$$

Получаем пары $$(6;1),\ (5;2),\ (1;4)$$.

2) $$x^2=20-y^2$$

Переберём натуральные значения $$y$$:

$$y=1:\ x^2=19$$
$$y=2:\ x^2=16,\ x=4$$
$$y=3:\ x^2=11$$
$$y=4:\ x^2=4,\ x=2$$
$$y=5:\ x^2=-5$$

Подходят пары $$(4;2)$$ и $$(2;4)$$.

3) $$(x-2y)(y+2x)=12$$

Рассмотрим возможные натуральные множители числа $$12$$. Так как $$x-2y$$ и $$y+2x$$ — натуральные числа, проверим пары делителей:

$$1\cdot 12,\quad 2\cdot 6,\quad 3\cdot 4$$

Проверим каждую пару.

Если $$x-2y=2$$ и $$y+2x=6$$, то
$$x=2+2y$$
и тогда
$$y+2(2+2y)=6$$
$$5y=2$$
Это не натуральное число.

Если $$x-2y=1$$ и $$y+2x=12$$, то
$$x=1+2y$$
и тогда
$$y+2(1+2y)=12$$
$$5y=10$$
$$y=2$$
Тогда
$$x=1+2\cdot 2=5$$

Значит, подходит пара $$(5;2)$$.

Ответ

1) $$(6;1),\ (5;2),\ (1;4)$$

2) $$(4;2),\ (2;4)$$

3) $$(5;2)$$