Упр.230 Часть 3 ГДЗ Дорофеев Петерсон 6 класс (Математика)

1. Существуют ли такие натуральные числа $$m$$ и $$n$$, что $$0 < \frac{m}{13} - \frac{n}{8} < 0{,}01$$? А если $$0{,}01$$ заменить на $$0{,}005$$?

Рассмотрим неравенство

$$0<\frac{m}{13}-\frac{n}{8}<0{,}01.$$

Приведём дроби к общему знаменателю:

$$0<\frac{8m-13n}{104}<0{,}01.$$

Умножим все части на $$104$$:

$$0<8m-13n<1{,}04.$$

Так как $$8m-13n$$ — целое число, то в промежутке от $$0$$ до $$1{,}04$$ может быть только число $$1$$. Значит,

$$8m-13n=1.$$

Тогда

$$8m=13n+1,$$

$$m=\frac{13n+1}{8}.$$

Подберём $$n$$, при котором число $$13n+1$$ делится на $$8$$:

при $$n=3$$ получаем

$$13\cdot 3+1=40,$$

а $$40$$ делится на $$8$$. Тогда

$$m=\frac{40}{8}=5.$$

Проверка:

$$\frac{5}{13}-\frac{3}{8}=\frac{40-39}{104}=\frac{1}{104}\approx 0{,}0096<0{,}01.$$

Значит, такие натуральные числа существуют: $$m=5$$, $$n=3$$.

Теперь рассмотрим случай

$$0<\frac{m}{13}-\frac{n}{8}<0{,}005.$$

Аналогично получаем:

$$0<\frac{8m-13n}{104}<0{,}005,$$

$$0<8m-13n<0{,}52.$$

Но целых чисел в промежутке $$(0;0{,}52)$$ нет. Следовательно, таких натуральных чисел $$m$$ и $$n$$ не существует.

Ответ

1) Да, например, $$m=5$$, $$n=3$$.
2) Нет, таких натуральных чисел не существует.