Упр.218 Часть 1 ГДЗ Дорофеев Петерсон 6 класс (Математика)

2) Найди все натуральные числа, равные утроенной сумме своих цифр.

1) Пусть натуральное число равно $$n$$. Тогда предыдущее число — $$n-1$$, а следующее — $$n+1$$.

Докажем, что

$$n^2>(n-1)(n+1).$$

Раскроем скобки:

$$ (n-1)(n+1)=n^2-1. $$

Тогда нужно доказать неравенство

$$n^2>n^2-1,$$

а оно верно при любом натуральном $$n$$.

Значит, квадрат любого натурального числа больше произведения предыдущего и следующего за ним чисел.

2) Пусть искомое число — двузначное, то есть $$\overline{ab}=10a+b$$, где $$a$$ — цифра десятков, $$b$$ — цифра единиц.

По условию:

$$10a+b=3(a+b).$$

Преобразуем:

$$ 10a+b=3a+3b \\ 10a-3a=3b-b \\ 7a=2b. $$

Так как $$a$$ и $$b$$ — цифры, то $$a$$ и $$b$$ должны быть целыми числами от 0 до 9, причём $$a\neq 0$$. Из равенства $$7a=2b$$ следует, что $$a$$ кратно 2, а $$b$$ кратно 7. Подходит только $$b=7$$, тогда

$$ 7a=14 \\ a=2. $$

Искомое число:

$$\overline{ab}=27.$$

Ответ

1) $$n^2>(n-1)(n+1)$$ при любом натуральном $$n$$. 2) $$27$$.