Упр.186 Часть 3 ГДЗ Дорофеев Петерсон 6 класс (Математика)

а) ? a?Q: |a|?0;
б) ? a?Q: |a|=|-a|;
в) ? a,b?Q: |a+b|=|a|+|b|;
г) ? a,b?Q: |a+b| > |a-b|.

а) Для любого рационального числа модуль неотрицателен, значит

$$\forall a \in \mathbb{Q}:\ |a| \ge 0.$$

Это высказывание истинно.

б) Утверждение

$$\exists a \in \mathbb{Q}:\ |a| = |-a|$$

истинно, так как для любого числа выполняется равенство $$|a| = |-a|.$$

в) Утверждение

$$\forall a,b \in \mathbb{Q}:\ |a+b| = |a| + |b|$$

ложно, потому что в общем случае модуль суммы не равен сумме модулей. Например, при $$a=1$$ и $$b=-1$$ получаем:

$$|a+b| = |1+(-1)| = 0,$$

а

$$|a|+|b| = |1|+|-1| = 2.$$

Отрицание:

$$\exists a,b \in \mathbb{Q}:\ |a+b| \ne |a|+|b|.$$

г) Утверждение

$$\exists a,b \in \mathbb{Q}:\ |a+b| > |a-b|$$

истинно, например, при $$a=1$$ и $$b=0$$ имеем:

$$|a+b| = |1+0| = 1,$$

$$|a-b| = |1-0| = 1,$$

здесь неравенство не выполняется, поэтому возьмём, например, $$a=2$$ и $$b=1$$:

$$|a+b| = |2+1| = 3,$$

$$|a-b| = |2-1| = 1,$$

и действительно $$3>1.$$

Ответ

а) истинно; б) истинно; в) ложно, отрицание: $$\exists a,b \in \mathbb{Q}:\ |a+b| \ne |a|+|b|$$; г) истинно.