Упр.18 Часть 2 ГДЗ Дорофеев Петерсон 6 класс (Математика)

Задача

Доказательство этого равенства, называемого теоремой Пифагора, было известно уже в V веке до н. э. Запиши это равенство на математическом языке.

Подробный ответ

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $$a$$ и $$b$$, а гипотенуза — $$c$$.

Рассмотрим квадрат со стороной $$a+b$$. Его площадь равна $$$(a+b)^2$$.

Эту же площадь можно найти по частям: она состоит из двух квадратов со сторонами $$a$$ и $$b$$ и двух прямоугольников со сторонами $$a$$ и $$b$$. Тогда

$$ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2. $$

С другой стороны, тот же квадрат можно разбить на четыре равных прямоугольных треугольника и внутренний квадрат со стороной $$c$$. Тогда его площадь равна

$$ 4\cdot \frac12 ab+c^2=2ab+c^2. $$

Значит,

$$ (a+b)^2=2ab+c^2. $$

Подставим вместо $$$(a+b)^2$$$ выражение $$a^2+2ab+b^2$$:

$$ a^2+2ab+b^2=2ab+c^2. $$

Вычтем $$2ab$$ из обеих частей:

$$ a^2+b^2=c^2. $$

Это и есть равенство, выражающее теорему Пифагора.