Упр.177 Часть 3 ГДЗ Дорофеев Петерсон 6 класс (Математика)

1. Построй четырёхугольник $$ABCD$$, проведи необходимые измерения и определи его вид. Какие свойства этого четырёхугольника тебе известны?
   а) $$A(-4; 0),\ B(0; 6),\ C(3; 4),\ D(-1; -2)$$;
   б) $$A(1; 4),\ B(4; 0),\ C(0; -3),\ D(-3; 1)$$;
   в) $$A(-6; 1),\ B(0; 3),\ C(2; 0),\ D(-4; -2)$$;
   г) $$A(3; 0),\ B(0; -2),\ C(-4; 0),\ D(2; 4)$$.

Найдём вид четырёхугольника по координатам его вершин, сравнивая длины сторон и угловые коэффициенты сторон.

а) $$A(-4;0),\ B(0;6),\ C(3;4),\ D(-1;-2)$$

Вычислим векторы сторон:

$$\overrightarrow{AB}=(4;6),\quad \overrightarrow{BC}=(3;-2),\quad \overrightarrow{CD}=(-4;-6),\quad \overrightarrow{DA}=(-3;2).$$

Видно, что $$\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{CD}$$ и $$\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{DA}$$, значит, противоположные стороны попарно параллельны и равны. Кроме того,

$$4\cdot 3+6\cdot(-2)=12-12=0,$$

то есть $$AB \perp BC$$. Следовательно, это прямоугольник.

Свойства: все углы прямые, противоположные стороны равны и параллельны.

б) $$A(1;4),\ B(4;0),\ C(0;-3),\ D(-3;1)$$

Найдём длины сторон:

$$AB=\sqrt{(4-1)^2+(0-4)^2}=\sqrt{9+16}=5,$$
$$BC=\sqrt{(0-4)^2+(-3-0)^2}=\sqrt{16+9}=5,$$
$$CD=\sqrt{(-3-0)^2+(1+3)^2}=\sqrt{9+16}=5,$$
$$DA=\sqrt{(1+3)^2+(4-1)^2}=\sqrt{16+9}=5.$$

Все стороны равны. Проверим прямой угол:

$$\overrightarrow{AB}=(3;-4),\quad \overrightarrow{BC}=(-4;-3),$$
$$3\cdot(-4)+(-4)\cdot(-3)=-12+12=0.$$

Значит, соседние стороны перпендикулярны. Следовательно, это квадрат.

Свойства: все стороны равны, все углы прямые, противоположные стороны параллельны.

в) $$A(-6;1),\ B(0;3),\ C(2;0),\ D(-4;-2)$$

Сравним противоположные стороны:

$$\overrightarrow{AB}=(6;2),\quad \overrightarrow{CD}=(-6;-2),$$
$$\overrightarrow{BC}=(2;-3),\quad \overrightarrow{DA}=(-2;3).$$

Получаем:

$$\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{CD},\quad \overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{DA}.$$

Значит, противоположные стороны попарно параллельны и равны. Следовательно, это параллелограмм.

Свойства: противоположные стороны равны и параллельны, противоположные углы равны.

г) $$A(3;0),\ B(0;-2),\ C(-4;0),\ D(2;4)$$

Найдём наклоны сторон:

$$k_{AB}=\frac{-2-0}{0-3}=\frac{2}{3},\quad k_{CD}=\frac{4-0}{2-(-4)}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3},$$

значит, $$AB \parallel CD$$.

Проверим длины боковых сторон:

$$AD=\sqrt{(2-3)^2+(4-0)^2}=\sqrt{1+16}=\sqrt{17},$$
$$BC=\sqrt{(-4-0)^2+(0+2)^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}.$$

Боковые стороны не равны, поэтому это не равнобедренная трапеция. Следовательно, четырёхугольник — трапеция.

Свойства: одна пара противоположных сторон параллельна, а углы при каждом основании в данном случае равны попарно: $$\angle A=\angle B,\ \angle C=\angle D.$$

Ответ

а) прямоугольник; б) квадрат; в) параллелограмм; г) трапеция.