Упр.176 Часть 3 ГДЗ Дорофеев Петерсон 6 класс (Математика)
- а) Построй прямые $$AB$$ и $$CD$$, если $$A(0; 8)$$, $$B(5; -2)$$, $$C(-6; 0)$$, $$D(4; 5)$$. Найди координаты точки пересечения этих прямых. Что интересного в их расположении? Сколько точек пересечения могут иметь две различные прямые?
б) Построй окружность с центром в точке $$A(-3; 1)$$ и радиусом $$4$$ единичных отрезка. Найди координаты точек пересечения этой окружности с прямой $$BC$$, если $$B(-5; 7)$$, $$C(4; -2)$$. Сколько точек пересечения могут иметь прямая и окружность?
в) Построй одну окружность с центром в точке $$A(-2; -1)$$ и радиусом $$3$$ единичных отрезка, а вторую — с центром в точке $$B(6; -1)$$ и радиусом $$5$$ единичных отрезков. Найди координаты их общей точки. Сколько точек пересечения могут иметь две окружности?
а) Найдём точку пересечения прямых $$AB$$ и $$CD$$.
Для прямой $$AB$$ угловой коэффициент:
$$k_{AB}=\frac{-2-8}{5-0}=\frac{-10}{5}=-2$$
Уравнение прямой $$AB$$:
$$y=-2x+8$$
Для прямой $$CD$$:
$$k_{CD}=\frac{5-0}{4-(-6)}=\frac{5}{10}=\frac12$$
Уравнение прямой $$CD$$:
$$y=\frac12x+3$$
Найдём точку пересечения:
$$-2x+8=\frac12x+3$$
$$-4x+16=x+6$$
$$-5x=-10$$
$$x=2$$
Подставим в любое уравнение:
$$y=-2\cdot 2+8=4$$
Точка пересечения: $$E(2;4)$$.
Прямые $$AB$$ и $$CD$$ перпендикулярны, так как их угловые коэффициенты удовлетворяют условию
$$k_{AB}\cdot k_{CD}=-2\cdot \frac12=-1.$$
Две различные прямые могут иметь одну точку пересечения или не иметь её вовсе, если они параллельны.
б) Уравнение окружности с центром $$A(-3;1)$$ и радиусом $$4$$:
$$(x+3)^2+(y-1)^2=16$$
Прямая $$BC$$ проходит через точки $$B(-5;7)$$ и $$C(4;-2)$$.
Её угловой коэффициент:
$$k_{BC}=\frac{-2-7}{4-(-5)}=\frac{-9}{9}=-1$$
Уравнение прямой:
$$y=-x+2$$
Найдём точки пересечения прямой и окружности, подставив $$y=-x+2$$ в уравнение окружности:
$$(x+3)^2+((-x+2)-1)^2=16$$
$$(x+3)^2+(-x+1)^2=16$$
$$x^2+6x+9+x^2-2x+1=16$$
$$2x^2+4x-6=0$$
$$x^2+2x-3=0$$
$$(x+3)(x-1)=0$$
$$x=-3 \quad \text{или} \quad x=1$$
Тогда
$$y=-(-3)+2=5$$
и
$$y=-1+2=1$$
Точки пересечения: $$E(-3;5)$$ и $$N(1;1)$$.
Прямая и окружность могут иметь две точки пересечения, одну точку пересечения при касании или не иметь общих точек.
в) Уравнения окружностей:
$$(x+2)^2+(y+1)^2=9$$
$$(x-6)^2+(y+1)^2=25$$
Вычтем первое уравнение из второго:
$$(x-6)^2-(x+2)^2=16$$
$$x^2-12x+36-x^2-4x-4=16$$
$$-16x+32=16$$
$$-16x=-16$$
$$x=1$$
Подставим в первое уравнение:
$$(1+2)^2+(y+1)^2=9$$
$$9+(y+1)^2=9$$
$$(y+1)^2=0$$
$$y=-1$$
Общая точка окружностей: $$C(1;-1)$$.
Две окружности могут иметь две точки пересечения, одну точку пересечения при касании или не иметь общих точек.
Ответ
а) $$E(2;4)$$; прямые перпендикулярны. Две различные прямые имеют не более одной точки пересечения.
б) $$E(-3;5)$$ и $$N(1;1)$$. Прямая и окружность могут иметь 2, 1 или 0 общих точек.
в) $$C(1;-1)$$. Две окружности могут иметь 2, 1 или 0 общих точек.
