Упр.176 Часть 3 ГДЗ Дорофеев Петерсон 6 класс (Математика)

б) Построй окружность с центром в точке A (-3; 1) и радиусом 4 единичных отрезка. Найди координаты точек пересечения этой окружности с прямой ВС, если В (-5; 7), С (4; -2). Сколько точек пересечения могут иметь прямая и окружность?
в) Построй одну окружность с центром в точке A (-2; -1) и радиусом 3 единичных отрезка, а вторую — с центром в точке В (6; -1) и радиусом 5 единичных отрезков. Найди координаты их общей точки. Сколько точек пересечения могут иметь две окружности?

а) Найдём точку пересечения прямых $AB$ и $CD$.

Для прямой $AB$ угловой коэффициент:

$$ k_{AB}=\frac{-2-8}{5-0}=\frac{-10}{5}=-2 $$

Уравнение прямой $AB$:

$$ y=-2x+8 $$

Для прямой $CD$:

$$ k_{CD}=\frac{5-0}{4-(-6)}=\frac{5}{10}=\frac12 $$

Уравнение прямой $CD$:

$$ y=\frac12x+3 $$

Найдём точку пересечения:

$$ -2x+8=\frac12x+3 $$

$$ -4x+16=x+6 $$

$$ -5x=-10 $$

$$ x=2 $$

Подставим в любое уравнение:

$$ y=-2\cdot 2+8=4 $$

Точка пересечения: $E(2;4)$.

Прямые $AB$ и $CD$ перпендикулярны, так как их угловые коэффициенты удовлетворяют условию

$$ k_{AB}\cdot k_{CD}=-2\cdot \frac12=-1. $$

Две различные прямые могут иметь одну точку пересечения или не иметь её вовсе, если они параллельны.

б) Уравнение окружности с центром $A(-3;1)$ и радиусом $4$:

$$ (x+3)^2+(y-1)^2=16 $$

Прямая $BC$ проходит через точки $B(-5;7)$ и $C(4;-2)$.

Её угловой коэффициент:

$$ k_{BC}=\frac{-2-7}{4-(-5)}=\frac{-9}{9}=-1 $$

Уравнение прямой:

$$ y=-x+2 $$

Найдём точки пересечения прямой и окружности, подставив $y=-x+2$ в уравнение окружности:

$$ (x+3)^2+((-x+2)-1)^2=16 $$

$$ (x+3)^2+(-x+1)^2=16 $$

$$ x^2+6x+9+x^2-2x+1=16 $$

$$ 2x^2+4x-6=0 $$

$$ x^2+2x-3=0 $$

$$ (x+3)(x-1)=0 $$

$$ x=-3 \quad \text{или} \quad x=1 $$

Тогда

$$ y=-(-3)+2=5 $$

и

$$ y=-1+2=1 $$

Точки пересечения: $E(-3;5)$ и $N(1;1)$.

Прямая и окружность могут иметь две точки пересечения, одну точку пересечения при касании или не иметь общих точек.

в) Уравнения окружностей:

$$ (x+2)^2+(y+1)^2=9 $$

$$ (x-6)^2+(y+1)^2=25 $$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$ (x-6)^2-(x+2)^2=16 $$

$$ x^2-12x+36-x^2-4x-4=16 $$

$$ -16x+32=16 $$

$$ -16x=-16 $$

$$ x=1 $$

Подставим в первое уравнение:

$$ (1+2)^2+(y+1)^2=9 $$

$$ 9+(y+1)^2=9 $$

$$ (y+1)^2=0 $$

$$ y=-1 $$

Общая точка окружностей: $C(1;-1)$.

Две окружности могут иметь две точки пересечения, одну точку пересечения при касании или не иметь общих точек.

Ответ

а) $E(2;4)$; прямые перпендикулярны. Две различные прямые имеют не более одной точки пересечения.

б) $E(-3;5)$ и $N(1;1)$. Прямая и окружность могут иметь 2, 1 или 0 общих точек.

в) $C(1;-1)$. Две окружности могут иметь 2, 1 или 0 общих точек.