Упр.168 Часть 1 ГДЗ Дорофеев Петерсон 6 класс (Математика)

Прочитай высказывания и определи их истинность или ложность. Построй отрицания ложных высказываний.

1. $$\exists n\in\mathbb{N}: 2n-5=12$$;
2. $$\forall a,b\in\mathbb{N}: a-1<b+1$$;
3. $$\forall x,y\in\mathbb{N}: xy=yx$$;
4. $$\exists c,d\in\mathbb{N}: c^2=d^2-1$$.

1) $$\exists n \in N:\ 2n-5=12.$$

Проверим, существует ли натуральное число $$n$$:

$$2n-5=12 \\ 2n=17 \\ n=\frac{17}{2}$$

Число $$\frac{17}{2}$$ не является натуральным, значит высказывание ложно.

Отрицание:

$$\forall n \in N:\ 2n-5\ne 12$$

2) $$\forall a,b \in N:\ a-1<b+1.$$

Это высказывание утверждает, что для любых натуральных $$a$$ и $$b$$ всегда верно неравенство $$a-1<b+1$$. Это неверно, например, при $$a=11$$ и $$b=1$$:

$$11-1<1+1 \\ 10<2$$

Получили неверное неравенство, значит высказывание ложно.

Отрицание:

$$\exists a,b \in N:\ a-1\ge b+1$$

3) $$\forall x,y \in N:\ xy=yx.$$

Для любых натуральных чисел выполняется переместительный закон умножения, значит высказывание истинно.

4) $$\exists c,d \in N:\ c^2=d^2-1.$$

Проверим на примере $$c=4$$, $$d=5$$:

$$4^2=5^2-1 \\ 16=25-1 \\ 16\ne 24$$

Это не подходит. Но само высказывание утверждает существование таких натуральных чисел. Возьмём, например, $$c=3$$, $$d=2$$:

$$3^2=2^2-1 \\ 9=4-1$$

Равенство неверно. Проверим общий вид:

$$c^2=d^2-1 \iff d^2-c^2=1 \iff (d-c)(d+c)=1$$

Для натуральных чисел это возможно только при $$d-c=1$$ и $$d+c=1$$, что невозможно. Значит высказывание ложно.

Отрицание:

$$\forall c,d \in N:\ c^2\ne d^2-1$$

Ответ

1) ложное, отрицание: $$\forall n \in N:\ 2n-5\ne 12$$;

2) ложное, отрицание: $$\exists a,b \in N:\ a-1\ge b+1$$;

3) истинное;

4) ложное, отрицание: $$\forall c,d \in N:\ c^2\ne d^2-1$$.