Упр.168 Часть 1 ГДЗ Дорофеев Петерсон 6 класс (Математика)
1) ? n?N: 2n-5=12;
2) ? a,b ?N: a-1 < b+1;
3) ? x,y ?N: xy=yx (R-множество дробей);
4) ? c,d?N: c^2=d^2-1.
1) $$\exists n \in N:\ 2n-5=12.$$
Проверим, существует ли натуральное число $$n$$:
$$ 2n-5=12 \\ 2n=17 \\ n=\frac{17}{2} $$
Число $$\frac{17}{2}$$ не является натуральным, значит высказывание ложно.
Отрицание:
$$ \forall n \in N:\ 2n-5\ne 12 $$
2) $$\forall a,b \in N:\ a-1<b+1.$$
Это высказывание утверждает, что для любых натуральных $$a$$ и $$b$$ всегда верно неравенство $$a-1<b+1$$. Это неверно, например, при $$a=11$$ и $$b=1$$:
$$ 11-1<1+1 \\ 10<2 $$
Получили неверное неравенство, значит высказывание ложно.
Отрицание:
$$ \exists a,b \in N:\ a-1\ge b+1 $$
3) $$\forall x,y \in N:\ xy=yx.$$
Для любых натуральных чисел выполняется переместительный закон умножения, значит высказывание истинно.
4) $$\exists c,d \in N:\ c^2=d^2-1.$$
Проверим на примере $$c=4$$, $$d=5$$:
$$ 4^2=5^2-1 \\ 16=25-1 \\ 16\ne 24 $$
Это не подходит. Но само высказывание утверждает существование таких натуральных чисел. Возьмём, например, $$c=3$$, $$d=2$$:
$$ 3^2=2^2-1 \\ 9=4-1 $$
Равенство неверно. Проверим общий вид:
$$ c^2=d^2-1 \iff d^2-c^2=1 \iff (d-c)(d+c)=1 $$
Для натуральных чисел это возможно только при $$d-c=1$$ и $$d+c=1$$, что невозможно. Значит высказывание ложно.
Отрицание:
$$ \forall c,d \in N:\ c^2\ne d^2-1 $$
Ответ
1) ложное, отрицание: $$\forall n \in N:\ 2n-5\ne 12$$;
2) ложное, отрицание: $$\exists a,b \in N:\ a-1\ge b+1$$;
3) истинное;
4) ложное, отрицание: $$\forall c,d \in N:\ c^2\ne d^2-1$$.
