Упр.162 Часть 1 ГДЗ Дорофеев Петерсон 6 класс (Математика)

1. Построй четырехугольник $$ABCD$$, если $$A(0; 2)$$, $$B(2; 6)$$, $$C(8; 8)$$, $$D(6; 4)$$. Найди координаты точки пересечения его диагоналей.
2. Измерь стороны и углы четырехугольника $$ABCD$$. Что ты замечаешь? Найди еще как можно больше свойств этого четырехугольника.

Найдём координаты точки пересечения диагоналей. Диагонали четырехугольника — это отрезки $$AC$$ и $$BD$$.

Составим уравнения этих прямых.

Для $$AC$$: через точки $$A(0;2)$$ и $$C(8;8)$$.

$$k=\frac{8-2}{8-0}=\frac{6}{8}=\frac34$$
$$y-2=\frac34(x-0)$$
$$y=\frac34x+2$$

Для $$BD$$: через точки $$B(2;6)$$ и $$D(6;4)$$.

$$k=\frac{4-6}{6-2}=\frac{-2}{4}=-\frac12$$
$$y-6=-\frac12(x-2)$$
$$y=-\frac12x+7$$

Найдём точку пересечения, решив систему:

$$\frac34x+2=-\frac12x+7$$
$$\frac34x+\frac12x=5$$
$$\frac54x=5$$
$$x=4$$
$$y=\frac34\cdot 4+2=5$$

Значит, точка пересечения диагоналей имеет координаты $$E(4;5)$$.

Теперь рассмотрим стороны четырехугольника.

$$AB=\sqrt{(2-0)^2+(6-2)^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}$$
$$BC=\sqrt{(8-2)^2+(8-6)^2}=\sqrt{36+4}=\sqrt{40}$$
$$CD=\sqrt{(6-8)^2+(4-8)^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}$$
$$AD=\sqrt{(6-0)^2+(4-2)^2}=\sqrt{36+4}=\sqrt{40}$$

Получаем:

$$AB=CD,\qquad BC=AD$$

Найдём наклоны противоположных сторон:

$$k_{AB}=\frac{6-2}{2-0}=2,\qquad k_{CD}=\frac{4-8}{6-8}=2$$
$$k_{BC}=\frac{8-6}{8-2}=\frac13,\qquad k_{AD}=\frac{4-2}{6-0}=\frac13$$

Следовательно,

$$AB \parallel CD,\qquad BC \parallel AD$$

Значит, четырехугольник $$ABCD$$ — параллелограмм.

У параллелограмма диагонали пересекаются и делятся пополам, поэтому

$$AE=EC,\qquad BE=ED$$

Можно также заметить, что противоположные углы равны:

$$\angle BAD=\angle BCD,\qquad \angle ABC=\angle ADC$$

Ответ

$$E(4;5).$$ Четырехугольник $$ABCD$$ — параллелограмм: $$AB=CD$$, $$BC=AD$$, $$AB \parallel CD$$, $$BC \parallel AD$$, $$\angle BAD=\angle BCD$$, $$\angle ABC=\angle ADC$$, диагонали делятся пополам: $$AE=EC$$, $$BE=ED$$.