Упр.15 Часть 2 ГДЗ Дорофеев Петерсон 6 класс (Математика)

1) В прямоугольном треугольнике $$ABC$$: $$AC=4\text{ см}$$, $$BC=3\text{ см}$$, $$AB=5\text{ см}$$.

Тогда для угла $$A$$:

$$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{3}{5},\qquad \cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{4}{5},\qquad \tg A=\frac{BC}{AC}=\frac{3}{4}.$$

2) Найдём сумму квадратов синуса и косинуса угла $$A$$:

$$\left(\frac{3}{5}\right)^2+\left(\frac{4}{5}\right)^2 =\frac{9}{25}+\frac{16}{25} =\frac{25}{25}=1.$$

3) Найдём отношение синуса к косинусу:

$$\frac{\sin A}{\cos A} =\frac{3/5}{4/5} =\frac{3}{5}\cdot\frac{5}{4} =\frac{3}{4} =\tg A.$$

4) Для угла $$B$$:

$$\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{4}{5},\qquad \cos B=\frac{BC}{AB}=\frac{3}{5},\qquad \tg B=\frac{AC}{BC}=\frac{4}{3}.$$

$$\left(\frac{4}{5}\right)^2+\left(\frac{3}{5}\right)^2 =\frac{16}{25}+\frac{9}{25} =\frac{25}{25}=1.$$

$$\frac{\sin B}{\cos B} =\frac{4/5}{3/5} =\frac{4}{5}\cdot\frac{5}{3} =\frac{4}{3} =\tg B.$$

Замечаем, что для острого угла прямоугольного треугольника сумма квадратов синуса и косинуса равна 1, а отношение синуса к косинусу равно тангенсу этого угла.

5) Для произвольного прямоугольного треугольника гипотеза такая:

$$\sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha=1.$$

Докажем это. Пусть в прямоугольном треугольнике для острого угла $$\alpha$$:

$$\sin \alpha=\frac{a}{c},\qquad \cos \alpha=\frac{b}{c},$$

где $$a$$ и $$b$$ — катеты, $$c$$ — гипотенуза. Тогда

$$\sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha =\left(\frac{a}{c}\right)^2+\left(\frac{b}{c}\right)^2 =\frac{a^2+b^2}{c^2}.$$

По теореме Пифагора $$a^2+b^2=c^2$$, значит

$$\sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha=\frac{c^2}{c^2}=1.$$

Ответ

$$\sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha=1,\qquad \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=\tg \alpha.$$