Упр.15 Часть 2 ГДЗ Дорофеев Петерсон 6 класс (Математика)

Задача

2) Вычисли сумму квадратов синуса и косинуса угла А.
3) Найди отношение синуса угла А к косинусу угла А и сравни его с тангенсом угла А.
4) Выполни три предыдущих задания для угла В треугольника АВС. Что ты замечаешь?
5) Повтори исследование для острого угла произвольного прямоугольного треугольника. Сформулируй гипотезу. Попробуй доказать ее в общем виде, используя теорему Пифагора (см. № 18).

Подробный ответ

1) В прямоугольном треугольнике $$ABC$$: $$AC=4\text{ см}$$, $$BC=3\text{ см}$$, $$AB=5\text{ см}$$.

Тогда для угла $$A$$:

$$ \sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{3}{5},\qquad \cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{4}{5},\qquad \tg A=\frac{BC}{AC}=\frac{3}{4}. $$

2) Найдём сумму квадратов синуса и косинуса угла $$A$$:

$$ \left(\frac{3}{5}\right)^2+\left(\frac{4}{5}\right)^2 =\frac{9}{25}+\frac{16}{25} =\frac{25}{25}=1. $$

3) Найдём отношение синуса к косинусу:

$$ \frac{\sin A}{\cos A} =\frac{3/5}{4/5} =\frac{3}{5}\cdot\frac{5}{4} =\frac{3}{4} =\tg A. $$

4) Для угла $$B$$:

$$ \sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{4}{5},\qquad \cos B=\frac{BC}{AB}=\frac{3}{5},\qquad \tg B=\frac{AC}{BC}=\frac{4}{3}. $$

$$ \left(\frac{4}{5}\right)^2+\left(\frac{3}{5}\right)^2 =\frac{16}{25}+\frac{9}{25} =\frac{25}{25}=1. $$

$$ \frac{\sin B}{\cos B} =\frac{4/5}{3/5} =\frac{4}{5}\cdot\frac{5}{3} =\frac{4}{3} =\tg B. $$

Замечаем, что для острого угла прямоугольного треугольника сумма квадратов синуса и косинуса равна 1, а отношение синуса к косинусу равно тангенсу этого угла.

5) Для произвольного прямоугольного треугольника гипотеза такая:

$$ \sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha=1. $$

Докажем это. Пусть в прямоугольном треугольнике для острого угла $$\alpha$$:

$$ \sin \alpha=\frac{a}{c},\qquad \cos \alpha=\frac{b}{c}, $$

где $$a$$ и $$b$$ — катеты, $$c$$ — гипотенуза. Тогда

$$ \sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha =\left(\frac{a}{c}\right)^2+\left(\frac{b}{c}\right)^2 =\frac{a^2+b^2}{c^2}. $$

По теореме Пифагора $$a^2+b^2=c^2$$, значит

$$ \sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha=\frac{c^2}{c^2}=1. $$