Упр.144 Часть 3 ГДЗ Дорофеев Петерсон 6 класс (Математика)

1. Построй четырёхугольник $$ABCD$$ по координатам вершин: $$A(4; 2)$$, $$B(2; 8)$$, $$C(14; 12)$$, $$D(10; 0)$$. Проведи диагонали и определи координаты точки их пересечения. Найди как можно больше свойств четырёхугольника $$ABCD$$.

Построим точки $$A(4;2),\ B(2;8),\ C(14;12),\ D(10;0)$$ на координатной плоскости и соединим их последовательно.

Проведём диагонали $$AC$$ и $$BD$$. Найдём координаты точки их пересечения.

Уравнение прямой $$AC$$:

$$k=\frac{12-2}{14-4}=\frac{10}{10}=1$$
значит,
$$y=x-2.$$

Уравнение прямой $$BD$$:

$$k=\frac{0-8}{10-2}=\frac{-8}{8}=-1$$
значит,
$$y=-x+10.$$

Найдём точку пересечения диагоналей:

$$x-2=-x+10$$
$$2x=12$$
$$x=6$$
$$y=6-2=4$$

Следовательно, точка пересечения диагоналей имеет координаты $$E(6;4)$$.

Найдём некоторые свойства четырёхугольника.

Длины сторон:

$$AB=\sqrt{(4-2)^2+(2-8)^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}$$
$$AD=\sqrt{(4-10)^2+(2-0)^2}=\sqrt{36+4}=\sqrt{40}$$
$$BC=\sqrt{(14-2)^2+(12-8)^2}=\sqrt{144+16}=\sqrt{160}$$
$$CD=\sqrt{(14-10)^2+(12-0)^2}=\sqrt{16+144}=\sqrt{160}$$

Значит, $$AB=AD$$ и $$BC=CD$$.

Проверим диагонали:

$$AE=\sqrt{(6-4)^2+(4-2)^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}$$
$$EC=\sqrt{(14-6)^2+(12-4)^2}=\sqrt{64+64}=\sqrt{128}$$

Поэтому $$AE \ne EC$$, то есть диагонали не делятся пополам.

Углы при вершинах $$B$$ и $$D$$ равны, так как соответствующие стороны попарно равны и фигура симметрична относительно диагонали $$AC$$. Также равны углы $$\angle ABC$$ и $$\angle ADC$$, а углы $$\angle BCE$$ и $$\angle DCE$$ — смежные с равными частями фигуры.

Итак, четырёхугольник $$ABCD$$ — дельтоид (воздушный змей): у него две пары равных смежных сторон.

Ответ

$$E(6;4).$$
$$AB=AD,\ BC=CD,\ BE=ED,\ AE\ne EC.$$
Четырёхугольник $$ABCD$$ — дельтоид.