Упр.144 Часть 3 ГДЗ Дорофеев Петерсон 6 класс (Математика)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Дорофеев, Петерсон 6 класс, Просвещение: 144. Построй четырёхугольник ABCD по координатам вершин: A (4; 2), В (2; 8), С (14; 12), D (10; 0). Проведи диагонали и определи координаты точки их пересечения. Найди как можно больше свойств четырёхугольника ABCD. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 6 peterson6 part3/144 066

Подробный ответ

Построим точки $$A(4;2),\ B(2;8),\ C(14;12),\ D(10;0)$$ на координатной плоскости и соединим их последовательно.

Проведём диагонали $$AC$$ и $$BD$$. Найдём координаты точки их пересечения.

Уравнение прямой $$AC$$:

$$ k=\frac{12-2}{14-4}=\frac{10}{10}=1 $$
значит,
$$ y=x-2. $$

Уравнение прямой $$BD$$:

$$ k=\frac{0-8}{10-2}=\frac{-8}{8}=-1 $$
значит,
$$ y=-x+10. $$

Найдём точку пересечения диагоналей:

$$ x-2=-x+10 $$
$$ 2x=12 $$
$$ x=6 $$
$$ y=6-2=4 $$

Следовательно, точка пересечения диагоналей имеет координаты $$E(6;4)$$.

Найдём некоторые свойства четырёхугольника.

Длины сторон:

$$ AB=\sqrt{(4-2)^2+(2-8)^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40} $$
$$ AD=\sqrt{(4-10)^2+(2-0)^2}=\sqrt{36+4}=\sqrt{40} $$
$$ BC=\sqrt{(14-2)^2+(12-8)^2}=\sqrt{144+16}=\sqrt{160} $$
$$ CD=\sqrt{(14-10)^2+(12-0)^2}=\sqrt{16+144}=\sqrt{160} $$

Значит, $$AB=AD$$ и $$BC=CD$$.

Проверим диагонали:

$$ AE=\sqrt{(6-4)^2+(4-2)^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8} $$
$$ EC=\sqrt{(14-6)^2+(12-4)^2}=\sqrt{64+64}=\sqrt{128} $$

Поэтому $$AE \ne EC$$, то есть диагонали не делятся пополам.

Углы при вершинах $$B$$ и $$D$$ равны, так как соответствующие стороны попарно равны и фигура симметрична относительно диагонали $$AC$$. Также равны углы $$\angle ABC$$ и $$\angle ADC$$, а углы $$\angle BCE$$ и $$\angle DCE$$ — смежные с равными частями фигуры.

Итак, четырёхугольник $$ABCD$$ — дельтоид (воздушный змей): у него две пары равных смежных сторон.