Упр.144 Часть 1 ГДЗ Дорофеев Петерсон 6 класс (Математика)

Чтобы опровергнуть утверждение вида $$\forall x\; P(x),$$ достаточно привести контрпример. Отрицание такого утверждения записывается так: $$\exists x\; \neg P(x).$$

1) $$\forall n \in N:\ n \text{ — простое}.$$

Контрпример: $$n=10$$ — составное число.

Отрицание: $$\exists n \in N:\ n \text{ не является простым}.$$

2) $$\forall k \in N:\ k<k^2.$$

Контрпример: $$k=1,$$ так как $$1 \not< 1^2.$$

Отрицание: $$\exists k \in N:\ k \ge k^2.$$

3) $$\forall a,b \in N:\ \operatorname{НОД}(a,b)=1.$$

Контрпример: $$a=3,\ b=6,$$ тогда $$\operatorname{НОД}(3,6)=3.$$

Отрицание: $$\exists a,b \in N:\ \operatorname{НОД}(a,b)\ne 1.$$

4) $$\forall x,y \in R:\ (x-y)^2 \ne x^2-y^2.$$

Контрпример: $$x=5,\ y=2,$$ тогда

$$(5-2)^2=5^2-2^2$$

Отрицание: $$\exists x,y \in R:\ (x-y)^2=x^2-y^2.$$

5) $$\exists n \in N:\ n^3=3.$$

Контрпример: $$n=3,$$ но $$3^3\ne 3.$$

Отрицание: $$\forall n \in N:\ n^3\ne 3.$$

6) $$\exists k \in N:\ k^2>k^3.$$

Контрпример: $$k=2,$$ тогда $$2^2<2^3.$$

Отрицание: $$\forall k \in N:\ k^2\le k^3.$$

7) $$\exists a,b \in N:\ \operatorname{НОК}(a,b)=a-b.$$

Так как $$\operatorname{НОК}(a,b)$$ не может быть равен разности двух натуральных чисел, утверждение неверно.

Отрицание: $$\forall a,b \in N:\ \operatorname{НОК}(a,b)\ne a-b.$$

8) $$\exists x,y \in R:\ (x+y)^2=x^2+2xy+y^2.$$

Это формула квадрата суммы, она верна для любых $$x$$ и $$y$$.

Отрицание: $$\forall x,y \in R:\ (x+y)^2=x^2+2xy+y^2.$$

Ответ

1) $$\exists n \in N:\ n \text{ не является простым}.$$
2) $$\exists k \in N:\ k \ge k^2.$$
3) $$\exists a,b \in N:\ \operatorname{НОД}(a,b)\ne 1.$$
4) $$\exists x,y \in R:\ (x-y)^2=x^2-y^2.$$
5) $$\forall n \in N:\ n^3\ne 3.$$
6) $$\forall k \in N:\ k^2\le k^3.$$
7) $$\forall a,b \in N:\ \operatorname{НОК}(a,b)\ne a-b.$$
8) $$\forall x,y \in R:\ (x+y)^2=x^2+2xy+y^2.$$