Упр.144 Часть 1 ГДЗ Дорофеев Петерсон 6 класс (Математика)
1) ? n?N: n-простое;
2) ? k?N: k < k^2;
3) ? a,b?N: НОД (a,b)=1;
4) ? x,y?R: (x-y)^2?x^2-y^2;
5) ? n?N: n^3=3;
6) ? k?N: k^2 > k^3;
7) ? a,b?N: НОК (a,b)=a-b;
8) ? x,y?R: (x+y)^2?x^2+2xy+y^2.
Чтобы опровергнуть утверждение вида $$\forall x\; P(x),$$ достаточно привести контрпример. Отрицание такого утверждения записывается так: $$\exists x\; \neg P(x).$$
1) $$\forall n \in N:\ n \text{ — простое}.$$
Контрпример: $$n=10$$ — составное число.
Отрицание: $$\exists n \in N:\ n \text{ не является простым}.$$
2) $$\forall k \in N:\ k<k^2.$$
Контрпример: $$k=1,$$ так как $$1 \not< 1^2.$$
Отрицание: $$\exists k \in N:\ k \ge k^2.$$
3) $$\forall a,b \in N:\ \operatorname{НОД}(a,b)=1.$$
Контрпример: $$a=3,\ b=6,$$ тогда $$\operatorname{НОД}(3,6)=3.$$
Отрицание: $$\exists a,b \in N:\ \operatorname{НОД}(a,b)\ne 1.$$
4) $$\forall x,y \in R:\ (x-y)^2 \ne x^2-y^2.$$
Контрпример: $$x=5,\ y=2,$$ тогда
$$ (5-2)^2=5^2-2^2 $$
Отрицание: $$\exists x,y \in R:\ (x-y)^2=x^2-y^2.$$
5) $$\exists n \in N:\ n^3=3.$$
Контрпример: $$n=3,$$ но $$3^3\ne 3.$$
Отрицание: $$\forall n \in N:\ n^3\ne 3.$$
6) $$\exists k \in N:\ k^2>k^3.$$
Контрпример: $$k=2,$$ тогда $$2^2<2^3.$$
Отрицание: $$\forall k \in N:\ k^2\le k^3.$$
7) $$\exists a,b \in N:\ \operatorname{НОК}(a,b)=a-b.$$
Так как $$\operatorname{НОК}(a,b)$$ не может быть равен разности двух натуральных чисел, утверждение неверно.
Отрицание: $$\forall a,b \in N:\ \operatorname{НОК}(a,b)\ne a-b.$$
8) $$\exists x,y \in R:\ (x+y)^2=x^2+2xy+y^2.$$
Это формула квадрата суммы, она верна для любых $$x$$ и $$y$$.
Отрицание: $$\forall x,y \in R:\ (x+y)^2=x^2+2xy+y^2.$$
Ответ
1) $$\exists n \in N:\ n \text{ не является простым}.$$
2) $$\exists k \in N:\ k \ge k^2.$$
3) $$\exists a,b \in N:\ \operatorname{НОД}(a,b)\ne 1.$$
4) $$\exists x,y \in R:\ (x-y)^2=x^2-y^2.$$
5) $$\forall n \in N:\ n^3\ne 3.$$
6) $$\forall k \in N:\ k^2\le k^3.$$
7) $$\forall a,b \in N:\ \operatorname{НОК}(a,b)\ne a-b.$$
8) $$\forall x,y \in R:\ (x+y)^2=x^2+2xy+y^2.$$
