Упр.126 Часть 1 ГДЗ Дорофеев Петерсон 6 класс (Математика)

Прочитай утверждения и опровергни их. Построй их отрицания.

1. $$\forall a\in R: a^2>a$$ (R-множество дробей);
2. $$\forall b\in N: b^2+b+1$$ — простое число;
3. $$\forall x,y\in N: (x+y)^2=x^2+y^2$$;
4. $$\forall m,n\in N: \frac{m}{n}=\frac{n}{m}$$;
5. $$\exists a,b\in N: (a+b)^2=5$$;
6. $$\exists c,d\in N: c^2+d^2=6$$;
7. $$\exists x,y\in N: x+y=7$$ и $$xy=7$$;
8. $$\exists m,n,k\in N: \frac{m}{n}\ne\frac{mk}{nk}$$.

Чтобы опровергнуть утверждение вида $$\forall x\in A:\ P(x),$$ достаточно привести один пример, при котором оно неверно. Отрицание такого утверждения имеет вид $$\exists x\in A:\ \neg P(x).$$

1) $$\forall a\in R:\ a^2>a.$$

Возьмём, например, $$a=\frac14.$$ Тогда

$$\left(\frac14\right)^2=\frac1{16}<\frac14,$$

значит, утверждение неверно.

Отрицание: существует дробь $$a$$, для которой $$a^2\le a$$.

2) $$\forall b\in N:\ b^2+b+1$$ — простое число.

При $$b=4$$ получаем

$$4^2+4+1=16+4+1=21,$$

а число $$21$$ составное. Значит, утверждение неверно.

Отрицание: существует натуральное число $$b$$, для которого $$b^2+b+1$$ не является простым.

3) $$\forall x,y\in N:\ (x+y)^2=x^2+y^2.$$

Возьмём $$x=2,\ y=3$$. Тогда

$$(2+3)^2=25,\qquad 2^2+3^2=4+9=13,$$

то есть равенство неверно.

Отрицание: существуют натуральные числа $$x$$ и $$y$$, для которых $$(x+y)^2\ne x^2+y^2$$.

4) $$\forall m,n\in N:\ \frac{m}{n}=\frac{n}{m}.$$

Например, при $$m=2,\ n=3$$ имеем

$$\frac23\ne\frac32.$$

Утверждение неверно.

Отрицание: существуют натуральные числа $$m$$ и $$n$$, для которых $$\frac{m}{n}\ne\frac{n}{m}$$.

5) $$\exists a,b\in N:\ (a+b)^2=5.$$

Но квадрат натурального числа не может равняться $$5$$, так как $$5$$ не является квадратом натурального числа. Значит, таких чисел нет.

Отрицание: для любых натуральных чисел $$a$$ и $$b$$ верно $$(a+b)^2\ne 5$$.

6) $$\exists c,d\in N:\ c^2+d^2=6.$$

Проверим, например, $$c=1,\ d=2$$:

$$1^2+2^2=1+4=5\ne 6.$$

Подходящей пары натуральных чисел нет.

Отрицание: для любых натуральных чисел $$c$$ и $$d$$ верно $$c^2+d^2\ne 6$$.

7) $$\exists x,y\in N:\ x+y=7 \text{ и } xy=7.$$

Если $$x+y=7$$, то можно взять, например, $$x=4,\ y=3$$, но тогда

$$xy=4\cdot 3=12\ne 7.$$

Значит, таких натуральных чисел нет.

Отрицание: для любых натуральных чисел $$x$$ и $$y$$ неверно, что одновременно $$x+y=7$$ и $$xy=7$$.

8) $$\exists m,n,k\in N:\ \frac{m}{n}\ne\frac{mk}{nk}.$$

Но при умножении числителя и знаменателя дроби на одно и то же ненулевое число её значение не меняется, поэтому

$$\frac{m}{n}=\frac{mk}{nk}.$$

Следовательно, утверждение неверно.

Отрицание: для любых натуральных чисел $$m,n,k$$ верно $$\frac{m}{n}=\frac{mk}{nk}$$.

Ответ

1) $$\exists a\in R:\ a^2\le a.$$
2) $$\exists b\in N:\ b^2+b+1$$ не простое.
3) $$\exists x,y\in N:\ (x+y)^2\ne x^2+y^2.$$
4) $$\exists m,n\in N:\ \frac{m}{n}\ne\frac{n}{m}.$$
5) $$\forall a,b\in N:\ (a+b)^2\ne 5.$$
6) $$\forall c,d\in N:\ c^2+d^2\ne 6.$$
7) $$\forall x,y\in N:\ \neg(x+y=7 \text{ и } xy=7).$$
8) $$\forall m,n,k\in N:\ \frac{m}{n}=\frac{mk}{nk}.$$