Упр.125 Часть 1 ГДЗ Дорофеев Петерсон 6 класс (Математика)

Прочитай утверждения и докажи их истинность:

1. $$\exists n\in N: n^2>30$$;
2. $$\exists a,b\in N: a=b^2$$;
3. $$\exists x,y,z\in N: x^2+y^2=z^2$$;
4. $$\exists x,y,z\in N: \frac{x}{y}=\frac{y}{z}$$;
5. $$\forall n\in N: n+(n+1)$$-число нечетное;
6. $$\forall n\in N: n(n+1)$$-число четное;
7. $$\forall n\in N: n(n+1)(n+2)$$-кратно шести;
8. $$\forall m,n\in N: \left(\frac{m}{n}\right)^2=\frac{m^2}{n^2}$$.

Проверим каждое утверждение, подбирая подходящий пример.

1) Возьмём $$n=9$$. Тогда $$n^2=9^2=81>30$$, значит, утверждение истинно.

2) Возьмём $$a=25$$, $$b=5$$. Тогда $$a=b^2$$, так как $$25=5^2$$. Утверждение истинно.

3) Возьмём $$x=5$$, $$y=12$$, $$z=13$$. Тогда

$$x^2+y^2=5^2+12^2=25+144=169=13^2=z^2.$$

Значит, утверждение истинно.

4) Возьмём $$x=1$$, $$y=3$$, $$z=9$$. Тогда

$$\frac{x}{y}=\frac{1}{3}, \qquad \frac{y}{z}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}.$$

Следовательно, $$\frac{x}{y}=\frac{y}{z}$$, утверждение истинно.

5) Для любого $$n \in N$$ число $$n+(n+1)$$ — сумма двух последовательных натуральных чисел. Она равна

$$n+(n+1)=2n+1,$$

а это нечётное число. Утверждение истинно.

6) Для любого $$n \in N$$ число $$n(n+1)$$ — произведение двух последовательных натуральных чисел. Одно из них обязательно чётное, значит, произведение чётное. Утверждение истинно.

7) Среди трёх последовательных натуральных чисел $$n$$, $$n+1$$, $$n+2$$ одно делится на 3, а одно из чисел $$n$$ и $$n+2$$ чётное. Значит, произведение $$n(n+1)(n+2)$$ делится на $$2 \cdot 3 = 6$$. Утверждение истинно.

8) Для любых $$m,n \in N$$, $$n \ne 0$$, имеем

$$\left(\frac{m}{n}\right)^2=\frac{m^2}{n^2}.$$

Это следует из правила возведения дроби в квадрат. Утверждение истинно.

Ответ

Все утверждения 1)–8) истинны.