Упр.125 Часть 1 ГДЗ Дорофеев Петерсон 6 класс (Математика)

Задача

1) ? n?N: n^2 > 30;
2) ? a,b?N: a=b^2;
3) ? x,y,z?N: x^2+y^2=z^2;
4) ? x,y,z?N: x/y=y/z;
5) ? n?N: n+(n+1)-число нечетное;
6) ? n?N: n(n+1)-число четное;
7) ? n?N: n(n+1)(n+2)-кратно шести;
8) ? m,n?N: (m/n)^2=m^2/n^2 ;

Подробный ответ

Проверим каждое утверждение, подбирая подходящий пример.

1) Возьмём $$n=9$$. Тогда $$n^2=9^2=81>30$$, значит, утверждение истинно.

2) Возьмём $$a=25$$, $$b=5$$. Тогда $$a=b^2$$, так как $$25=5^2$$. Утверждение истинно.

3) Возьмём $$x=5$$, $$y=12$$, $$z=13$$. Тогда

$$ x^2+y^2=5^2+12^2=25+144=169=13^2=z^2. $$

Значит, утверждение истинно.

4) Возьмём $$x=1$$, $$y=3$$, $$z=9$$. Тогда

$$ \frac{x}{y}=\frac{1}{3}, \qquad \frac{y}{z}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}. $$

Следовательно, $$\frac{x}{y}=\frac{y}{z}$$, утверждение истинно.

5) Для любого $$n \in N$$ число $$n+(n+1)$$ — сумма двух последовательных натуральных чисел. Она равна

$$ n+(n+1)=2n+1, $$

а это нечётное число. Утверждение истинно.

6) Для любого $$n \in N$$ число $$n(n+1)$$ — произведение двух последовательных натуральных чисел. Одно из них обязательно чётное, значит, произведение чётное. Утверждение истинно.

7) Среди трёх последовательных натуральных чисел $$n$$, $$n+1$$, $$n+2$$ одно делится на 3, а одно из чисел $$n$$ и $$n+2$$ чётное. Значит, произведение $$n(n+1)(n+2)$$ делится на $$2 \cdot 3 = 6$$. Утверждение истинно.

8) Для любых $$m,n \in N$$, $$n \ne 0$$, имеем

$$ \left(\frac{m}{n}\right)^2=\frac{m^2}{n^2}. $$

Это следует из правила возведения дроби в квадрат. Утверждение истинно.