Упр.12 Часть 3 ГДЗ Дорофеев Петерсон 6 класс (Математика)

а) Докажи, что для любого натурального числа $$n$$ сумма удвоенного предыдущего и утроенного последующего числа при делении на $$5$$ дает остаток, равный $$1$$.

б) Докажи, что сумма четырёх последовательных натуральных чисел, кратных $$3$$, при делении на $$12$$ даёт остаток, равный $$6$$.

а) Пусть дано натуральное число $$n$$. Тогда предыдущее число равно $$n-1$$, а последующее — $$n+1$$.

Составим сумму удвоенного предыдущего и утроенного последующего чисел:

$$2(n-1)+3(n+1)=2n-2+3n+3=5n+1$$

Число $$5n$$ делится на $$5$$ без остатка, значит при делении $$5n+1$$ на $$5$$ остаток равен $$1$$.

б) Пусть четыре последовательных натуральных числа, кратных $$3$$, равны:

$$3n-3,\; 3n,\; 3n+3,\; 3n+6$$

Тогда их сумма равна:

$$(3n-3)+3n+(3n+3)+(3n+6)=12n+6$$

Число $$12n$$ делится на $$12$$ без остатка, значит при делении $$12n+6$$ на $$12$$ остаток равен $$6$$.

Ответ

а) Остаток $$1$$.
б) Остаток $$6$$.