Упр.117 Часть 2 ГДЗ Дорофеев Петерсон 6 класс (Математика)

1) В треугольнике АВС проведен отрезок MN, параллельный стороне АС:
Измерь длины отрезков AM, MB, BN и NC и составь пропорцию из полученных чисел. Повтори исследование для произвольного треугольника АВС и отрезка MN, параллельного его стороне АС. Сформулируй гипотезу.
2) Используй преобразования пропорций, чтобы, исходя из гипотезы, получить новые свойства данной фигуры.
Можно ли на основании проведенных построений и измерений считать гипотезу и ее следствия верными для общего случая? Почему?

1) По измерениям получаем:

$$AM=1{,}5\text{ см},\quad MB=3\text{ см},\quad BN=2\text{ см},\quad NC=1\text{ см}.$$

Составим пропорцию:

$$\frac{MB}{AM}=\frac{BN}{NC}$$

Проверим:

$$\frac{3}{1{,}5}=\frac{2}{1}\Rightarrow 2=2.$$

Для другого треугольника получаем, например:

$$AM=1\text{ см},\quad MB=2{,}8\text{ см},\quad BN=5{,}6\text{ см},\quad NC=2\text{ см}.$$

Тогда

$$\frac{MB}{AM}=\frac{BN}{NC}$$

поскольку

$$\frac{2{,}8}{1}=\frac{5{,}6}{2}\Rightarrow 2{,}8=2{,}8.$$

Гипотеза: отрезок, параллельный одной стороне треугольника, делит две другие стороны в равном отношении.

2) Из пропорции

$$\frac{MB}{AM}=\frac{BN}{NC}$$

получаем:

$$MB\cdot NC=AM\cdot BN.$$

Если прибавить к числителям и знаменателям соответствующие части, то:

$$\frac{MB}{AM}=\frac{BN}{NC}\Rightarrow \frac{MB+AM}{AM}=\frac{BN+NC}{NC}$$

то есть

$$\frac{AB}{AM}=\frac{BC}{NC}.$$

Аналогично можно получить и другие равенства отношений сторон.

Но считать гипотезу и её следствия доказанными для общего случая нельзя: измерения и построения могут содержать погрешности. Для общего случая нужно строгое математическое доказательство.

Ответ

Гипотеза: если в треугольнике отрезок параллелен одной стороне, то он делит две другие стороны в равном отношении. По измерениям это подтверждается, но для общего случая требуется доказательство, а не только построения и измерения.