Упр.102 Часть 2 ГДЗ Дорофеев Петерсон 6 класс (Математика)

1) Стороны угла А пересечены параллельными прямыми B_1 C_1 , B_2 C_2 и B_3 C_3. Измерь длины отрезков, образовавшихся на сторонах угла А, и сравни отношения (B_1 B_2 )/(C_1 C_2) и (B_2 B_3)/(C_2 C_3).
2) Проведи исследование для произвольного угла А и произвольных параллельных прямых В_1 С_1 , В_2 С_2 и В_3 С_3 , пересекающих его сторону. Сформулируй гипотезу. Можно ли считать ее доказанной посредством проведенных измерений и вычислений?
3) Считая равенство (B_1 B_2)/(C_1 C_2) = (B_2 B_3)/(C_2 C_3) истинным, докажи, что (B_1 B_2)/(C_1 C_2) = (B_1 B_3)/(C_1 C_3).

1) По рисунку измерим отрезки:

$$ B_1B_2=4\text{ см},\quad B_2B_3=3\text{ см},\quad C_1C_2=2\text{ см},\quad C_2C_3=1{,}5\text{ см}. $$

Найдём отношения:

$$ \frac{B_1B_2}{C_1C_2}=\frac{4}{2}=2,\qquad \frac{B_2B_3}{C_2C_3}=\frac{3}{1{,}5}=2. $$

Значит,

$$ \frac{B_1B_2}{C_1C_2}=\frac{B_2B_3}{C_2C_3}. $$

2) Для произвольного угла и произвольных параллельных прямых измерения могут дать, например:

$$ B_1B_2=1{,}8\text{ см},\quad B_2B_3=2{,}7\text{ см},\quad C_1C_2=2\text{ см},\quad C_2C_3=3\text{ см}. $$

Тогда

$$ \frac{B_1B_2}{C_1C_2}=\frac{1{,}8}{2}=0{,}9=\frac{9}{10},\qquad \frac{B_2B_3}{C_2C_3}=\frac{2{,}7}{3}=0{,}9=\frac{9}{10}. $$

Следовательно, можно сформулировать гипотезу: отношения соответствующих отрезков, отсекаемых параллельными прямыми на сторонах угла, равны.

Но по одним измерениям и вычислениям считать гипотезу доказанной нельзя: для доказательства нужен общий вывод, а не только частные примеры.

3) Пусть

$$ \frac{B_1B_2}{C_1C_2}=\frac{B_2B_3}{C_2C_3}. $$

Обозначим это общее отношение через $$k$$. Тогда

$$ B_1B_2=k\cdot C_1C_2,\qquad B_2B_3=k\cdot C_2C_3. $$

Сложим равенства:

$$ B_1B_3=B_1B_2+B_2B_3=k(C_1C_2+C_2C_3)=k\cdot C_1C_3. $$

Тогда

$$ \frac{B_1B_3}{C_1C_3}=k. $$

Но и

$$ \frac{B_1B_2}{C_1C_2}=k. $$

Значит,

$$ \frac{B_1B_2}{C_1C_2}=\frac{B_1B_3}{C_1C_3}. $$

Ответ

1) $$\frac{B_1B_2}{C_1C_2}=\frac{B_2B_3}{C_2C_3}=2.$$
2) Гипотеза: соответствующие отрезки, отсекаемые параллельными прямыми на сторонах угла, пропорциональны. По измерениям она не считается доказанной.
3) $$\frac{B_1B_2}{C_1C_2}=\frac{B_1B_3}{C_1C_3}.$$