Упр.100 Часть 2 ГДЗ Дорофеев Петерсон 6 класс (Математика)

Докажем равносильность каждой пары пропорций, используя свойства пропорции и условия существования дробей.

1) Если $$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$, то

$$\frac{a}{b}+1=\frac{c}{d}+1$$
$$\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}.$$
И наоборот, из $$\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$$ получаем
$$\frac{a}{b}+1=\frac{c}{d}+1,$$
значит,
$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}.$$
Следовательно, пропорции равносильны при $$b\ne 0,\ d\ne 0$$.

2) Если $$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$, то

$$\frac{a}{b}-1=\frac{c}{d}-1$$
$$\frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}.$$
Обратно, из $$\frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}$$ следует
$$\frac{a}{b}-1=\frac{c}{d}-1,$$
откуда $$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$. Здесь также нужно $$b\ne 0,\ d\ne 0$$.

3) Если $$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$, то

$$1-\frac{a}{b}=1-\frac{c}{d}$$
$$\frac{b-a}{b}=\frac{d-c}{d}.$$
И обратно, из последней пропорции получаем $$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$. Условия: $$b\ne 0,\ d\ne 0$$.

4) Если $$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$, то, разделив числитель и знаменатель на соответствующие величины, получаем

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d} \iff \frac{b}{a}=\frac{d}{c} \iff \frac{b}{a}+1=\frac{d}{c}+1 \iff \frac{a+b}{a}=\frac{c+d}{c} \iff \frac{a}{a+b}=\frac{c}{c+d}.$$
Значит, пропорции равносильны при $$a\ne 0,\ c\ne 0,\ a+b\ne 0,\ c+d\ne 0$$.

5) Аналогично:

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d} \iff \frac{a}{b}-1=\frac{c}{d}-1 \iff \frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d} \iff \frac{a}{a-b}=\frac{c}{c-d}.$$
Условия: $$b\ne 0,\ d\ne 0,\ a-b\ne 0,\ c-d\ne 0$$.

6) Аналогично:

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d} \iff 1-\frac{a}{b}=1-\frac{c}{d} \iff \frac{b-a}{b}=\frac{d-c}{d} \iff \frac{a}{b-a}=\frac{c}{d-c}.$$
Условия: $$b\ne 0,\ d\ne 0,\ b-a\ne 0,\ d-c\ne 0$$.

7) Если

$$\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d},$$
то по перекрёстному правилу пропорции
$$(a+b)(c-d)=(a-b)(c+d).$$
Раскроем скобки:
$$ac-ad+bc-bd=ac+ad-bc-bd.$$
Сократим одинаковые слагаемые:
$$-ad+bc=ad-bc$$
$$2bc=2ad$$
$$ad=bc.$$
Следовательно,
$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}.$$
Обратно, из $$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$ получаем $$ad=bc$$, а значит, равносильны и все записанные пропорции. При этом должны выполняться условия существования дробей:
$$a-b\ne 0,\quad c-d\ne 0,\quad b\ne 0,\quad d\ne 0.$$

Ответ

1) $$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\iff \frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$$, $$b\ne 0,\ d\ne 0$$.

2) $$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\iff \frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}$$, $$b\ne 0,\ d\ne 0$$.

3) $$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\iff \frac{b-a}{b}=\frac{d-c}{d}$$, $$b\ne 0,\ d\ne 0$$.

4) $$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\iff \frac{a}{a+b}=\frac{c}{c+d}$$, $$a\ne 0,\ c\ne 0,\ a+b\ne 0,\ c+d\ne 0$$.

5) $$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\iff \frac{a}{a-b}=\frac{c}{c-d}$$, $$b\ne 0,\ d\ne 0,\ a-b\ne 0,\ c-d\ne 0$$.

6) $$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\iff \frac{a}{b-a}=\frac{c}{d-c}$$, $$b\ne 0,\ d\ne 0,\ b-a\ne 0,\ d-c\ne 0$$.

7) $$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\iff \frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}$$, а также из этой пропорции следует $$\frac{a+b}{c+d}=\frac{a-b}{c-d}$$ при $$b\ne 0,\ d\ne 0,\ a-b\ne 0,\ c-d\ne 0$$.