Упр.41 ГДЗ Тетрадь-тренажёр Бунимович 6 класс (Математика)

Не выполняя сложения, докажите, что верно каждое из следующих неравенств.

1) $$\frac{1}{3}+\frac{1}{4}>\frac{1}{2}$$;

2) $$\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}>\frac{1}{2}$$.

3) Подметьте закономерность в построении этих неравенств и запишите похожее неравенство, которое начинается так: $$\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\dots$$ Докажите, что это неравенство верно.

1) Так как $$\frac13>\frac14,$$ то

$$\frac13+\frac14>\frac14+\frac14.$$

Но $$\frac14+\frac14=\frac12,$$ значит,

$$\frac13+\frac14>\frac12.$$

2) Так как $$\frac15>\frac16>\frac17>\frac18,$$ то

$$\frac15+\frac16+\frac17+\frac18>\frac18+\frac18+\frac18+\frac18.$$

Но $$\frac18+\frac18+\frac18+\frac18=\frac48=\frac12,$$ значит,

$$\frac15+\frac16+\frac17+\frac18>\frac12.$$

3) По той же закономерности можно записать:

$$\frac16+\frac17+\frac18+\frac19+\frac1{10}+\frac1{11}+\frac1{12}>\frac12.$$

Так как $$\frac16>\frac17>\frac18>\frac19>\frac1{10}>\frac1{11}>\frac1{12},$$ то

$$\frac16+\frac17+\frac18+\frac19+\frac1{10}+\frac1{11}+\frac1{12}>\frac1{12}+\frac1{12}+\frac1{12}+\frac1{12}+\frac1{12}+\frac1{12}+\frac1{12}.$$

А $$7\cdot\frac1{12}=\frac7{12}>\frac12,$$ значит,

$$\frac16+\frac17+\frac18+\frac19+\frac1{10}+\frac1{11}+\frac1{12}>\frac12.$$