Упр.39 ГДЗ Тетрадь-тренажёр Бунимович 6 класс (Математика)

(1/2+1/3+1/4+1/5)+(2/3+2/4+2/5)+(3/4+3/5)+4/5.
2) Составьте по этому же правилу сумму всех правильных дробей со знаменателями от 2 до 6 и вычислите её значение.

1) Сгруппируем слагаемые так, чтобы в каждой паре получалась единица:

$$ \left(\frac12+\frac13+\frac14+\frac15\right)+\left(\frac23+\frac24+\frac25\right)+\left(\frac34+\frac35\right)+\frac45 $$
$$ =\left(\frac12+\frac24\right)+\left(\frac13+\frac33\right)+\left(\frac14+\frac44\right)+\left(\frac15+\frac55\right)+\left(\frac25+\frac35\right) $$
$$ =1+1+1+1+1=5. $$

2) По тому же правилу составим сумму всех правильных дробей со знаменателями от 2 до 6:

$$ \frac12+\frac13+\frac14+\frac15+\frac16+\frac23+\frac24+\frac25+\frac26+\frac34+\frac35+\frac36+\frac45+\frac46+\frac56. $$

Сгруппируем попарно:

$$ \left(\frac12+\frac22\right)+\left(\frac13+\frac23\right)+\left(\frac14+\frac34\right)+\left(\frac15+\frac45\right)+\left(\frac16+\frac56\right)+\left(\frac24+\frac24\right)+\left(\frac25+\frac35\right)+\left(\frac26+\frac46\right)+\left(\frac36+\frac36\right) $$

Удобнее заметить, что каждая дробь $$\frac{a}{b}$$ дополняется до единицы дробью $$\frac{b-a}{b}$$. Тогда получаем:

$$ \left(\frac12+\frac12\right)+\left(\frac13+\frac23\right)+\left(\frac14+\frac34\right)+\left(\frac15+\frac45\right)+\left(\frac16+\frac56\right)+\left(\frac24+\frac24\right)+\left(\frac25+\frac35\right)+\left(\frac26+\frac46\right)+\left(\frac36+\frac36\right) $$
$$ =1+1+1+1+1+\frac12+1+1+\frac12=7\frac12. $$

Ответ

1) $$5$$.

2) $$7\frac12$$.