Упр.39 ГДЗ Тетрадь-тренажёр Бунимович 6 класс (Математика)

1. Придумайте удобный способ для вычисления суммы и найдите её значение: $$\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{2}{3}+\frac{2}{4}+\frac{2}{5}\right)+\left(\frac{3}{4}+\frac{3}{5}\right)+\frac{4}{5}$$.
2. Составьте по этому же правилу сумму всех правильных дробей со знаменателями от $$2$$ до $$6$$ и вычислите её значение.

1) Сгруппируем слагаемые так, чтобы в каждой паре получалась единица:

$$\left(\frac12+\frac13+\frac14+\frac15\right)+\left(\frac23+\frac24+\frac25\right)+\left(\frac34+\frac35\right)+\frac45$$
$$=\left(\frac12+\frac24\right)+\left(\frac13+\frac33\right)+\left(\frac14+\frac44\right)+\left(\frac15+\frac55\right)+\left(\frac25+\frac35\right)$$
$$=1+1+1+1+1=5.$$

2) По тому же правилу составим сумму всех правильных дробей со знаменателями от 2 до 6:

$$\frac12+\frac13+\frac14+\frac15+\frac16+\frac23+\frac24+\frac25+\frac26+\frac34+\frac35+\frac36+\frac45+\frac46+\frac56.$$

Сгруппируем попарно:

$$\left(\frac12+\frac22\right)+\left(\frac13+\frac23\right)+\left(\frac14+\frac34\right)+\left(\frac15+\frac45\right)+\left(\frac16+\frac56\right)+\left(\frac24+\frac24\right)+\left(\frac25+\frac35\right)+\left(\frac26+\frac46\right)+\left(\frac36+\frac36\right)$$

Удобнее заметить, что каждая дробь $$\frac{a}{b}$$ дополняется до единицы дробью $$\frac{b-a}{b}$$. Тогда получаем:

$$\left(\frac12+\frac12\right)+\left(\frac13+\frac23\right)+\left(\frac14+\frac34\right)+\left(\frac15+\frac45\right)+\left(\frac16+\frac56\right)+\left(\frac24+\frac24\right)+\left(\frac25+\frac35\right)+\left(\frac26+\frac46\right)+\left(\frac36+\frac36\right)$$
$$=1+1+1+1+1+\frac12+1+1+\frac12=7\frac12.$$

Ответ

1) $$5$$.

2) $$7\frac12$$.