Упр.327 ГДЗ Тетрадь-тренажёр Бунимович 6 класс (Математика)

Задача. Оля, Катя, Лена и Надя на занятиях в спортивной секции должны по очереди выполнять упражнения на брусьях. Сколько у них есть вариантов установления очерёдности?
Решение.
1) Пусть первой будет Оля.
Если вторая Катя, то имеем варианты:
Если вторая Лена, то имеем варианты:
Если вторая Надя, то имеем варианты:
2) Пусть первой будет Катя.
Если вторая Оля, то имеем варианты:
Если вторая Лена, то имеем варианты:
Если вторая Надя, то имеем варианты:
3) Пусть первой будет Лена.
Если вторая ___ , то имеем варианты:
Если вторая ___ , то имеем варианты:
Если вторая ___ , то имеем варианты:
4) Пусть первой будет ______.
Если вторая ___ , то имеем варианты:
Если вторая ___ , то имеем варианты:
Если вторая ___ , то имеем варианты:
Ответ: ____ всего вариантов.
Ответьте на вопросы:
Сколько всего вариантов, когда:
Катя вторая?
Оля последняя?
Надя не последняя?
Лена не первая?
Оля и Катя выступают друг за другом?

Составим все возможные очередности из четырёх девочек: Оли, Кати, Лены и Нади.

1) Пусть первой будет Оля. Тогда второе, третье и четвёртое места могут занять Катя, Лена и Надя в любом порядке:

ОКЛН; ОКНЛ; ОЛКН; ОЛНК; ОНКЛ; ОНЛК.

2) Пусть первой будет Катя. Тогда получаем:

КОЛН; КОНЛ; КЛОН; КЛНО; КНОЛ; КНЛО.

3) Пусть первой будет Лена. Тогда:

если вторая Оля, то варианты: ЛОКН; ЛОНК;

если вторая Катя, то варианты: ЛКОН; ЛКНО;

если вторая Надя, то варианты: ЛНОК; ЛНКО.

4) Пусть первой будет Надя. Тогда:

если вторая Оля, то варианты: НОКЛ; НОЛК;

если вторая Катя, то варианты: НКОЛ; НКЛО;

если вторая Лена, то варианты: НЛОК; НЛКО.

Всего получилось $$6+6+6+6=24$$ варианта.

Теперь ответим на вопросы.

Катя вторая: первую, третью и четвёртую позиции можно заполнить остальными тремя девочками $$3!=6$$ способами.

Оля последняя: первые три места заполняются остальными тремя девочками $$3!=6$$ способами.

Надя не последняя: всего вариантов $$24$$. Если Надя последняя, то остальные три девочки можно расположить $$3!=6$$ способами. Значит,

$$24-6=18.$$

Лена не первая: всего вариантов $$24$$. Если Лена первая, то остальные три девочки можно расположить $$3!=6$$ способами. Значит,

$$24-6=18.$$

Оля и Катя выступают друг за другом: возможны два случая — Оля перед Катей или Катя перед Олей. В каждом случае пару можно считать одним блоком, тогда вместе с двумя другими девочками получаем $$3!=6$$ вариантов. Итого

$$6+6=12.$$

Ответ

Всего $$24$$ варианта; Катя вторая — $$6$$; Оля последняя — $$6$$; Надя не последняя — $$18$$; Лена не первая — $$18$$; Оля и Катя друг за другом — $$12$$.