Упр.937 ГДЗ Зубарева Мордкович 5 класс ФГОС (Математика)

Из восьми одинаковых кубиков складывают прямоугольные параллелепипеды. Изобразите все возможные варианты. Найдите площадь поверхности каждого параллелепипеда. Какой из параллелепипедов имеет наименьшую площадь поверхности (запишите его измерения)? Сделайте вывод. У какого из параллелепипедов площадь поверхности наибольшая? Существует ли ещё какой-нибудь прямоугольный параллелепипед с тем же объёмом, площадь поверхности которого была бы ещё больше?

Сторона каждого кубика равна 1 см, значит объём каждого прямоугольного параллелепипеда равен 8 см³. Возможные размеры параллелепипедов, составленных из 8 кубиков:

• $$1 \cdot 1 \cdot 8$$
• $$1 \cdot 2 \cdot 4$$
• $$2 \cdot 2 \cdot 2$$

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле:

$$S_{\text{пов.}}=2(ab+bc+ac)$$

1) Для параллелепипеда $$1 \cdot 1 \cdot 8$$:

$$S_{\text{пов.}}=2(1\cdot 1+1\cdot 8+1\cdot 8)=2(1+8+8)=34\ \text{см}^2$$

2) Для параллелепипеда $$1 \cdot 2 \cdot 4$$:

$$S_{\text{пов.}}=2(1\cdot 2+2\cdot 4+1\cdot 4)=2(2+8+4)=28\ \text{см}^2$$

3) Для куба $$2 \cdot 2 \cdot 2$$:

$$S_{\text{пов.}}=2(2\cdot 2+2\cdot 2+2\cdot 2)=2(4+4+4)=24\ \text{см}^2$$

Сравним полученные значения: $$24\ \text{см}^2$$, $$28\ \text{см}^2$$, $$34\ \text{см}^2$$.

Наименьшую площадь поверхности имеет куб со сторонами $$2\ \text{см},\ 2\ \text{см},\ 2\ \text{см}$$.

Наибольшая площадь поверхности у параллелепипеда со сторонами $$8\ \text{см},\ 1\ \text{см},\ 1\ \text{см}$$.

Если взять ещё более вытянутый параллелепипед с тем же объёмом, например $$16 \cdot 1 \cdot 0{,}5$$, то его площадь поверхности будет ещё больше:

$$S_{\text{пов.}}=2(16\cdot 1+16\cdot 0{,}5+1\cdot 0{,}5)=2(16+8+0{,}5)=49\ \text{см}^2$$

Значит, при одном и том же объёме площадь поверхности увеличивается, если параллелепипед становится более вытянутым.

Ответ

$$1\cdot 1\cdot 8 \rightarrow 34\ \text{см}^2,\quad 1\cdot 2\cdot 4 \rightarrow 28\ \text{см}^2,\quad 2\cdot 2\cdot 2 \rightarrow 24\ \text{см}^2.$$

Наименьшая площадь поверхности у куба $$2\cdot 2\cdot 2$$, наибольшая — у параллелепипеда $$1\cdot 1\cdot 8$$.

Да, существует: например, $$16\cdot 1\cdot 0{,}5$$, и его площадь поверхности ещё больше.