Упр.632 ГДЗ Зубарева Мордкович 5 класс ФГОС (Математика)
На рисунке 133 луч $$ВО$$ — биссектриса угла $$АВС$$. Внимательно рассмотрите рисунок и выполните следующие задания.
- Назовите равные углы. Объясните, почему равны углы $$АОВ$$ и $$СОВ$$.
- Назовите биссектрису угла $$АОС$$.
- Мысленно перегните рисунок по прямой $$ВО$$ и подумайте, почему при этом должны совпасть точки $$А$$ и $$С$$.
- Укажите на рисунке равные отрезки. Объясните, почему равны отрезки $$ОА$$ и $$ОС$$.
- Укажите отрезки, длины которых равны расстоянию от точки $$О$$ до сторон угла $$АВС$$.
- Можно ли утверждать, что точка $$О$$ равноудалена от сторон угла $$АВС$$? Ответ обоснуйте.
- Подумайте, все ли точки биссектрисы обладают этим свойством. Есть ли на биссектрисе точки, которые не равноудалены от сторон угла? Если построить другой угол и провести его биссектрису, будут ли точки той биссектрисы равноудалены от сторон угла?
- Постарайтесь сформулировать свойство точек биссектрисы угла.
1) Рассмотрим треугольники $$AOB$$ и $$BOC$$. Так как $$BO$$ — биссектриса угла $$ABC$$, то
$$\angle ABO=\angle OBC.$$
Кроме того, $$\angle OAB=\angle OCB$$, так как это прямые углы.
Если в двух треугольниках по два угла равны, то равны и третьи углы. Значит,
$$\angle AOB=\angle COB.$$
2) Луч $$OB$$ — биссектриса угла $$AOC$$.
3) При мысленном перегибе рисунка по прямой $$BO$$ точки $$A$$ и $$C$$ совпадут, потому что точка $$O$$ лежит на биссектрисе $$BO$$ и равноудалена от сторон угла.
4) В треугольниках $$AOB$$ и $$BOC$$ имеем:
$$AB=BC,$$
$$BO$$ — общая сторона.
Если в треугольниках две стороны равны, а третья — общая, то равны и другие две стороны. Следовательно,
$$OA=OC.$$
5) Отрезки $$OA$$ и $$OC$$ равны расстоянию от точки $$O$$ до сторон угла $$ABC$$.
6) Да, точка $$O$$ равноудалена от сторон угла $$ABC$$, потому что она лежит на биссектрисе этого угла.
7) Все точки биссектрисы угла обладают этим свойством: они равноудалены от сторон угла.
8) Следовательно, точки, лежащие на биссектрисе угла, равноудалены от сторон этого угла.
Ответ
Равные углы: $$\angle ABO=\angle OBC$$, $$\angle OAB=\angle OCB$$, $$\angle AOB=\angle COB$$. Биссектриса угла $$AOC$$ — луч $$OB$$. Равные отрезки: $$OA=OC$$. Расстояние от точки $$O$$ до сторон угла $$ABC$$ равно отрезкам $$OA$$ и $$OC$$. Точка $$O$$ равноудалена от сторон угла $$ABC$$. Все точки биссектрисы угла равноудалены от его сторон.
