Упр.17 Часть 2 ГДЗ Виленкин Жохов 5 класс, Мнемозина (Математика)

Задача

1^3 + 2^3 = (1 + 2)^2;
1^3 + 2^3 + 3^3 = (1 + 2 + 3)^2;
1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 = (1 + 2 + 3 + 4)^2.
Попробуйте рассказать, какова в этих равенствах зависимость между квадратами и кубами чисел. Проверьте, выполняется ли это свойство для пяти, шести чисел.

Подробный ответ

Проверим равенства по порядку.

$$ 1^3+2^3=1+8=9 $$
$$ (1+2)^2=3^2=9 $$
Значит, первое равенство справедливо.

$$ 1^3+2^3+3^3=1+8+27=36 $$
$$ (1+2+3)^2=6^2=36 $$
Значит, второе равенство тоже справедливо.

$$ 1^3+2^3+3^3+4^3=1+8+27+64=100 $$
$$ (1+2+3+4)^2=10^2=100 $$
И это равенство верно.

Получается зависимость: сумма кубов первых $n$ натуральных чисел равна квадрату суммы этих чисел.

Проверим для пяти и шести чисел:

$$ 1^3+2^3+3^3+4^3+5^3=1+8+27+64+125=225 $$
$$ (1+2+3+4+5)^2=15^2=225 $$

$$ 1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3=1+8+27+64+125+216=441 $$
$$ (1+2+3+4+5+6)^2=21^2=441 $$

Следовательно, свойство выполняется и для пяти, и для шести чисел.