Упр.5.476 ГДЗ Виленкин Жохов 5 класс Часть 2, Просвещение (Математика)

1/3 · 1/5 = 1/2 · (1/3 — 1/5);
1/5 · 1/7 = 1/2 · (1/5 — 1/7);
1/7 · 1/9 = 1/2 · (1/7 — 1/9)
и т. д. Используя эти равенства, докажите:
1/3 · 1/5 + 1/5 · 1/7 + 1/7 · 1/9 + 1/9 · 1/11 + 1/11 · 1/13 + 1/13 · 1/15 = 2/15.

Проверим данные равенства:

$$ \frac13\cdot\frac15=\frac12\left(\frac13-\frac15\right), \qquad \frac15\cdot\frac17=\frac12\left(\frac15-\frac17\right), \qquad \frac17\cdot\frac19=\frac12\left(\frac17-\frac19\right). $$

Например,

$$ \frac12\left(\frac13-\frac15\right)=\frac12\cdot\frac{5-3}{15}=\frac12\cdot\frac{2}{15}=\frac{1}{15}=\frac13\cdot\frac15. $$

Аналогично:

$$ \frac12\left(\frac15-\frac17\right)=\frac12\cdot\frac{7-5}{35}=\frac12\cdot\frac{2}{35}=\frac{1}{35}=\frac15\cdot\frac17, $$

$$ \frac12\left(\frac17-\frac19\right)=\frac12\cdot\frac{9-7}{63}=\frac12\cdot\frac{2}{63}=\frac{1}{63}=\frac17\cdot\frac19. $$

Значит, каждое произведение можно заменить разностью двух дробей:

$$ \frac13\cdot\frac15+\frac15\cdot\frac17+\frac17\cdot\frac19+\frac19\cdot\frac1{11}+\frac1{11}\cdot\frac1{13}+\frac1{13}\cdot\frac1{15} $$
$$ =\frac12\left(\frac13-\frac15+\frac15-\frac17+\frac17-\frac19+\frac19-\frac1{11}+\frac1{11}-\frac1{13}+\frac1{13}-\frac1{15}\right). $$

Внутри скобок все промежуточные дроби сокращаются:

$$ \frac12\left(\frac13-\frac1{15}\right)=\frac12\cdot\frac{5-1}{15}=\frac12\cdot\frac4{15}=\frac2{15}. $$

Следовательно, равенство верно.

Ответ

$$ \frac13\cdot\frac15+\frac15\cdot\frac17+\frac17\cdot\frac19+\frac19\cdot\frac1{11}+\frac1{11}\cdot\frac1{13}+\frac1{13}\cdot\frac1{15}=\frac2{15}. $$