Упр.4.160 ГДЗ Виленкин Жохов 5 класс Часть 1, Просвещение (Математика)

Задача

а) Вычислите объём параллелепипеда и его частей. Равен ли объём параллелепипеда сумме объёмов его частей?
б) Вычислите площадь поверхности параллелепипеда и его частей. Равны ли площади поверхности параллелепипеда и сумма площадей поверхностей его частей? Объясните почему. Прямоугольный параллелепипед (рис.93) состоит из двух частей.
а) Вычислите объём параллелепипеда и его частей. Равен ли объём параллелепипеда сумме объёмов его частей?
б) Вычислите площадь поверхности параллелепипеда и его частей. Равны ли площади поверхности параллелепипеда и его частей? Объясните почему.
а) Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений: длины, ширины и высоты.
Тогда, объём прямоугольного параллелепипеда с измерениями 10 см, 7 см и 12 см будет равен:
V=10•7•12=10•84=840 (см^3 ).
Объём прямоугольного параллелепипеда с измерениями 10 см, 7 см и 8 см, то есть объём первой (фиолетовой) части, будет равен:
V_1=10•7•8=10•56=560 (см^3 ).
Объём прямоугольного параллелепипеда с измерениями 10 см, 7 см и 4 см, то есть объём второй (зелёной) части, будет равен:
V_2=10•7•4=10•28=280 (см^3 ).
Теперь находим сумму объёмов первой и второй частей, получим:
V_1+V_2=560+280=840 (см^3).
Итак, объём параллелепипеда V=840 см^3 и сумма объёмов его частей V_1+V_2=840 см^3.
Значит, объём параллелепипеда равен сумме объёмов его частей, то есть V=V_1+V_2.
б) Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда равна сумме площадей всех его граней.
Гранями прямоугольного параллелепипеда являются прямоугольники.
Площадь прямоугольника равна произведению его соседних сторон.
При этом в прямоугольном параллелепипеде противолежащие грани равны, значит, имеют одинаковые площади.
Следовательно, достаточно найти площади трёх граней прямоугольного параллелепипеда и умножить их сумму на 2.
Тогда, площадь прямоугольного параллелепипеда с измерениями 10 см, 7 см и 12 см будет равен:
S=2•(10•7+10•12+7•12)=2•(70+120+84)=2•274=548 (см^2 ).
Площадь прямоугольного параллелепипеда с измерениями 10 см, 7 см и 8 см, то есть площадь первой (фиолетовой) части, будет равна:
S_1=2•(10•7+10•8+7•8)=2•(70+80+56)=2•206=412 (см^2 ).
Площадь прямоугольного параллелепипеда с измерениями 10 см, 7 см и 4 см, то есть площадь второй (зелёной) части, будет равна:
S_2=2•(10•7+10•4+7•4)=2•(70+40+28)=2•138=276 (см^2 ).
Теперь находим сумму площадей поверхностей первой и второй частей, получим:
S_1+S_2=412+276=688 (см^2).
Итак, площадь поверхности параллелепипеда S=548 см^2, а сумма площадей поверхностей его частей S_1+S_2=688 см^2.
Значит, площадь поверхности параллелепипеда меньше суммы площадей поверхностей его частей, так как 548 см^2<688 см^2, то есть S?S_1+S_2. Это можно объяснить тем, что при разделении параллелепипеда на части, количество граней увеличивается, соответственно увеличивается и площадь поверхности, так как площадь поверхности равна сумме площадей всех граней.

Подробный ответ

Объём прямоугольного параллелепипеда находим по формуле $$V=abc$$.

Для всего параллелепипеда:

$$ V=10\cdot 7\cdot 12=840\ \text{см}^3 $$

Для первой части:

$$ V_1=10\cdot 7\cdot 8=560\ \text{см}^3 $$

Для второй части:

$$ V_2=10\cdot 7\cdot 4=280\ \text{см}^3 $$

Сумма объёмов частей:

$$ V_1+V_2=560+280=840\ \text{см}^3 $$

Значит, объём всего параллелепипеда равен сумме объёмов его частей.

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляем по формуле $$S=2(ab+ac+bc)$$.

Для всего параллелепипеда:

$$ S=2(10\cdot 7+10\cdot 12+7\cdot 12)=2(70+120+84)=548\ \text{см}^2 $$

Для первой части:

$$ S_1=2(10\cdot 7+10\cdot 8+7\cdot 8)=2(70+80+56)=412\ \text{см}^2 $$

Для второй части:

$$ S_2=2(10\cdot 7+10\cdot 4+7\cdot 4)=2(70+40+28)=276\ \text{см}^2 $$

Сумма площадей поверхностей частей:

$$ S_1+S_2=412+276=688\ \text{см}^2 $$

Площадь поверхности всего параллелепипеда не равна сумме площадей поверхностей его частей, так как при разрезании внутренняя общая грань учитывается дважды — как часть поверхности каждой из двух частей.